¿La regla de la mano derecha es arbitraria?

En la definición de multiplicación de vectores, la dirección del vector resultante viene dada por la regla de la mano derecha. Sin embargo, no conozco ningún requisito matemático para elegir la mano derecha en lugar de la izquierda para este propósito. ¿Hay alguna?

¿Es arbitraria la definición de mano derecha de la matemática vectorial? Sí.
Gracias. Como pregunta de seguimiento, ¿por qué la mano derecha?
Como anécdota, Eugene Wigner usó la regla de la mano izquierda para sus cálculos, convirtiendo según corresponda para la respuesta final. Pero claro, sabía un poco sobre teoría de grupos y simetrías y cómo convertirlas en su cabeza...
Nuevamente anecdóticamente (de la escuela de posgrado hace más de 30 años): Wigner se comprometió a usar coordenadas diestras si el prefijo alemán mi i gramo mi norte se mantuvo como el prefijo versus "característica". Eso puede ser totalmente falso, pero es una buena historia en clase.
Depende de si utiliza un sistema de coordenadas diestro o zurdo. Una vez que elige las direcciones relativas de X, Y y Z, sigue el resto.
@Floris Entonces, la regla de la mano derecha no es arbitraria, es el resultado de las direcciones relativas de los ejes, y lo que es realmente arbitrario son las direcciones relativas de los ejes.
@ user144302 sí, diría que sí.
@Floris Gracias. En esta página ( evl.uic.edu/ralph/508S98/coordinates.html ), veo que la diferencia fundamental entre un sistema de coordenadas diestro y uno zurdo es la dirección de rotación positiva. Es cw para un cor.sys zurdo. y ccw para un cs diestro
@Floris Por lo tanto, la dirección de rotación positiva influye en la definición de multiplicación vectorial. ¿Puedo preguntar cómo?
@Floris Si los comentarios anteriores son complicados. En pocas palabras, ¿por qué el vector resultante en una multiplicación es perpendicular a los dos vectores que se multiplican? ¿Hay alguna razón para eso, y mucho menos la regla de la mano derecha?
La definición de multiplicación vectorial: es el vector que es perpendicular al plano creado por los dos vectores que se multiplican, con una longitud proporcional al área del triángulo formado por esos dos vectores. Una vez que lo definas de esa manera, deberías poder demostrar que la ecuación (la mecánica para calcularla) se deriva de la definición.
Los cálculos de @Floris son fáciles de entender una vez que se hace una definición. Es la definición por la que estoy preguntando. Se siente increíblemente arbitrario. ¿Es realmente? ¿Quién lo definió así y por qué? ¿Hay alguna razón por la que no debería hacer mi propia definición? Por lo general, las matemáticas lo prohíben porque la definición de interés está estrechamente relacionada con conceptos más simples. Sin embargo, en este caso, no veo relaciones, ni conceptos básicos, ni prohibición.
@ user144302: siempre encontré útil el "concepto de volumen" de los productos de puntos y cruces. El volumen de un objeto formado por los vectores A,B,C es ( A × B ) ⋅ C . Se da una buena explicación en el sitio de intercambio de matemáticas donde se hizo esta pregunta antes ...
@Floris Gracias. Esta respuesta me enseñó muchas palabras clave. Y su comprensión realmente parece cumplir con los sistemas tridimensionales, así que también gracias por mencionarlo.

Respuestas (2)

También podrías definirlo con la mano izquierda. En este caso, la fórmula de la multiplicación vectorial 3d simplemente sería negada.

También se podría construir una física para eso, sería exactamente lo mismo, por supuesto se negarían las fórmulas que utilizan la multiplicación vectorial.

Es como un mecanismo binario de Higgs, de manera similar a como los relojes mecánicos analógicos giran hacia la derecha. Podrían girar también a la izquierda. Hace algunos cientos de años, muchos de ellos lo hicieron.

Los relojes de sol, al sur del ecuador, todavía van CCW.
@ Whit3rd Es porque el mundo funcionaría exactamente como antes, solo cambiarían nuestras fórmulas.

Dibuje un conjunto 3D de ejes para XYZ. ¿Dónde está X positivo? ¿Dónde está Y positivo? ¿Dónde está Z positivo? Obviamente, donde los desee, pero a la derecha, arriba y fuera de la página son las opciones comúnmente aceptadas.

Ahora aceptando eso, ¿cómo lo recuerdo? Cierro los dedos de mi mano derecha de X a Y y mi pulgar apunta a Z. Si en cambio prefiero abrir mis dedos de X a Y, necesitaría usar mi mano izquierda.

Además, esto les permite a los maestros estar bastante seguros de quién reprobará durante las pruebas.

EDITAR: La relación de las orientaciones es parte de la definición de un producto cruzado. Queremos evitar agregar signos negativos si no es necesario. Usando el XYZ tradicional, esto significa cerrar la mano derecha, pero cada vez que cambia el signo de un eje, puede agregar un cambio de manos para preservar una propiedad de "permanecer positivo".

Entiendo cómo x, y y z se eligen arbitrariamente cuando se representan en papel. Sin embargo, todavía podría haber un requisito para una cierta relación direccional entre los vectores AxB=C. Y eso es lo que estaba preguntando. Resulta que no hay ninguno, con la ayuda de las respuestas anteriores.
¿La regla de la mano derecha es arbitraria?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v