¿Cómo interpretar las unidades del producto punto o cruz de dos vectores?

Como ya ha señalado ACuriousMind , puedes interpretar geométricamente la longitud del producto vectorial de dos vectores como el área del paralelogramo (o como el doble del área del triángulo) dividido por ellos, y (los valores absolutos de) sus componentes como el áreas de las proyecciones de ese paralelogramo en los planos de coordenadas.

En cuanto al producto escalar de dos vectores, según la ley de los cosenos , puedes interpretarlo como la mitad de la diferencia entre la suma de sus cuadrados y el cuadrado de su diferencia:

En otras palabras, tomando los vectores como dos lados de un triángulo, el producto escalar mide (la mitad) la cantidad por la cual falla la ley de Pitágoras para este triángulo.

Otra forma de interpretar geométricamente (el valor absoluto de) el producto punto es como la mitad del área del triángulo formado al rotar uno de los vectores 90° en su plano común y luego tomar los vectores resultantes como dos lados de un triángulo:

Esto se deduce de la conocida fórmula del producto escalar $\vec a \cdot \vec b = \|\vec a\| \|\vec b\| \cos \gamma$, dónde$\gamma$es el ángulo entre$\vec a$y$\vec b$, de la fórmula del área del triángulo $T = \frac12 \|\vec a'\| \|\vec b\| \sin \gamma'$, dónde$T$es el área del triángulo formado por los vectores$\vec a'$y$\vec b$y$\gamma'$es el ángulo entre ellos, y el hecho de que los ángulos$\gamma$y$\gamma'$son complementarios, por lo que$|\cos \gamma| = |\sin \gamma'|$.

Tenga en cuenta la similitud con el producto vectorial aquí. De hecho, siempre tenemos$\|\vec a \times \vec b\| = |\vec a' \cdot \vec b|$, dónde$\vec a'$es$\vec a$girados 90° en su plano común (o en cualquiera de los planos, si son varios)!

PD. Noté (después de publicar esta respuesta) que preguntó específicamente sobre las unidades de los productos y "no sobre interpretaciones geométricas". Aun así, estos ejemplos deberían al menos mostrar que tanto el punto como el producto vectorial de dos vectores de longitud pueden, de hecho, interpretarse significativamente como áreas y, por lo tanto, no debería sorprender que, si los vectores originales tienen unidades de, digamos , metros, entonces su producto se medirá en metros cuadrados.

La longitud del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que abarcan, por lo que los metros cuadrados son la unidad correcta y geométricamente significativa: en realidad es un área. los$x$-componente es el área de la proyección del paralelogramo sobre el$y$-$z$-avión, el$y$-componente el área de la proyección sobre el$z$-$x$-avión y el$z$-componente es el área de la proyección sobre el$x$-$y$-plano.

La unidad del producto escalar no es realmente significativa. Es, por definición, la longitud de la proyección del primer vector sobre el segundo veces la longitud del segundo (o viceversa), que no corresponde directamente a ningún área. Obtiene unidades de metros cuadrados por definición, pero no hay una interpretación más profunda detrás de lo que pude ver.

Me parece que siempre puedes factorizar las unidades de los componentes de un vector y reescribirlo como un vector (físicamente) adimensional multiplicado por esas unidades. Luego, los productos punto y cruz funcionan en los vectores adimensionales y las unidades adjuntas simplemente se multiplican como lo hacen en cualquier problema no vectorial.

En cuanto a la interpretación de las unidades resultantes, dependerá de si has construido algo que tenga un significado físico o no. Supongo que podría tomar el producto cruzado de dos vectores de fuerza, pero no creo que signifique nada (pero me interesaría ver una interpretación si alguien puede pensar en una). Por supuesto, puede tomar el producto vectorial de un vector de posición y un vector de fuerza e interpretar el resultado como un par.

Su producto escalar de dos vectores de posición tiene metros cuadrados como unidades porque corresponde a una longitud proyectada multiplicada por otra longitud. Y el producto cruz corresponde a un área como ya han señalado otros.

El producto escalar de dos longitudes no ocurrirá en ninguna parte de la física, es por eso que la unidad no tiene sentido.

Normalmente, tienes un producto escalar en una situación como$\cos(k\cdot r)$, donde el$\vec k$se elige para dar un número significativo (fase) en el producto escalar, tiene la unidad 1/m. Vive en un espacio completamente diferente al de los radio-vectores, pero de alguna manera están conectados en el sentido de que puedes comparar las direcciones de$\vec r$y$\vec k$, pueden ser paralelos, etc. Este "de alguna manera" necesita algunas matemáticas para escribirlo más claramente: en resumen, las ks representan funcionales lineales en el espacio real...

O tiene un producto punto en algo como el cálculo del trabajo, donde la unidad obviamente también es significativa. Las matemáticas deberían ser similares aquí.

El producto cruzado se explica en la otra respuesta.

Un producto escalar, al igual que un producto regular, producirá una cantidad diferente, generalmente con una unidad diferente. Eso no es sorprendente, la multiplicación siempre hace eso (ese es el punto de las unidades: forman un grupo multiplicativo).

Considere la versión de la escuela primaria de work=force*displacement. lo escribes como$W=Fx$(como "escalares"), probablemente no se oponga. Bueno, resulta que solo la fuerza a lo largo del desplazamiento cuenta como trabajo y, en general, debes escribir$W={\bf F\cdot x}$. Así que nada cambió realmente, excepto que ahora se tienen en cuenta las direcciones (el producto escalar solo multiplica partes de los vectores que son paralelos entre sí). La unidad resultante es, por supuesto, Joule (o alguna otra unidad de energía), como en el caso escalar.

Para un producto cruzado, es esencialmente lo mismo. Considere el par. Tú tienes$\bf M= r\times F$. El par es una cantidad diferente a la distancia o la fuerza. Ese habría sido el caso sin la naturaleza vectorial de las cantidades.

Sin embargo, hay algo más sutil que eso. El producto cruzado no produce un vector verdadero, no cuando lo miras muy de cerca. El "sentido" de los componentes del producto vectorial tiene un área orientada a los sentidos... así que no es "cuánto de esto y esto tenemos en alguna dirección", sino "cuánto esto y esto pasa por un área que apunta en alguna dirección". Llamamos a esos pseudovectores (vectores axiales). Además de tener esta "sensación" de circularidad en alguna dirección (observa el par de torsión: gira alrededor de un eje), también tiene diferentes propiedades de simetría. Si inviertes todos los vectores en la ecuación (inviertes la flecha), el producto vectorial no invierte la flecha (porque en realidad no es una flecha, es un eje).

Este punto "fino" no es necesario para comprender la parte sobre las unidades (eso es solo porque un producto siempre crea una cantidad diferente), pero lo incluyo para que esté completo. Las cantidades físicas son más que simples números con unidades. Hay un significado y un comportamiento detrás. Solo recuerde que el trabajo y el torque tienen las mismas unidades, pero uno es un escalar y el otro es un pseudovector.

El producto escalar se puede visualizar como un producto ponderado de las dos cantidades. Ya que se define como$\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos{ \theta }$, la$\cos{ \theta }$se puede considerar como una medida de la igualdad de los dos vectores (lo que da como resultado una respuesta negativa para ángulos mayores que un ángulo recto, mientras que el$|u|$y$|v|$se puede considerar como un ajuste para los tamaños respectivos de los dos vectores.

En cuanto a las unidades, toma$W=\vec{F} \cdot \vec{d}$, son más como reliquias de las dos cantidades que ingresan al producto, este ejemplo dejando unidades de$\text{N} \cdot \text{m} = \text{J}$.

Y las unidades del producto vectorial pueden considerarse como unidades del área de un paralelogramo en una especie de espacio de fase (que sería difícil de visualizar, ya que el espacio para dos vectores de diferentes unidades en 3 dimensiones sería de 6 dimensiones).

Si bien es cierto que es geométrico (um... son funciones trigonométricas), este diagrama muestra de manera concisa la relación entre las unidades. Esto se ha dicho en una variedad de formas diferentes en los comentarios y otras respuestas:

El mismo principio se aplica al producto cruz. El diagrama sería similar pero se vería aún más "geométrico".

El producto escalar de dos vectores unitarios puede considerarse con seguridad una cantidad adimensional, desde la perspectiva del análisis dimensional: un vector unitario es lo que obtienes cuando divides un vector por su magnitud, y el producto escalar es lineal en términos de las magnitudes de ambos vectores, por lo que todas las unidades se cancelan, y por la razón de que puedes tomar su arcocoseno para obtener el ángulo entre los dos vectores, y el coseno de un ángulo es adimensional.

En el producto escalar obtienes la magnitud, en unidades de producto de operandos.

En el producto cruzado obtienes vectores con dirección, en unidades de producto de operandos.