Estoy trabajando en algunos temas relacionados con la optimización espectral en función del dominio. Por ejemplo, se sabe desde hace casi un siglo (Lord Rayleigh y Faber, Krahn) que la forma que minimiza el primer valor propio del Laplaciano en un dominio con condición de contorno cero bajo restricción de área es un disco.
Formalmente los autovalores son la secuencia de valores positivos para los cuales existen funciones no triviales tal que
Aparte del interés puramente matemático en el problema, hay una buena aplicación:
Digamos que queremos producir un tambor que produzca una cierta frecuencia base tal que el área de la membrana sea mínima. Entonces lo mejor es hacer un tambor circular. Por cierto, la forma circular también minimiza el perímetro a una frecuencia dada. Por lo tanto, el tambor más rentable es uno circular.
La aplicación descrita anteriormente trata con el valor propio fundamental.
¿Hay alguna ventaja física si construimos formas que minimicen los valores propios segundo, tercero y cuarto? (Estoy interesado en el caso en que la membrana se fija en el límite)
¡Buena pregunta y hermosa pieza de optimización! He estado pensando en eso por un tiempo.
Solo puedo responder desde un punto de acústica musical física. Parece ser una característica interesante para el diseño y la construcción de tambores, pero mis consideraciones terminan con la conclusión de que no es muy útil en la práctica. He aquí por qué:
Caso 1 - Tambor golpeado directamente: el sonido es "percusión pura" (es decir, un solo golpe, muy corto en el tiempo, espectro sin armónicos pronunciados, casi sin oscilaciones de caída armónica - típicamente un tambor) o es el sonido de un tambor afinado membranófono como timbales . Pero en este último caso, el tono audible se produce principalmente por oscilaciones del volumen de aire dentro del tambor. Naturalmente, en ambos casos hay oscilaciones de modos de membrana más altos, pero hay muchas (la caja de la caja) o no son la característica más importante de la producción de sonido (la caja del timbal).
Caso 2 - Membrana impulsada: Obviamente, esta podría ser una buena característica considerando un membranófono con conducción continua (no de percusión) (como la cuíca brasileña ). Pero cuando comience a jugar con la forma del tambor, pondrá en peligro la uniformidad de la tensión de la membrana, lo que enviaría inmediatamente sus cálculos al infierno más profundo porque la simple ecuación de Laplace ya no sería válida con un gradiente de parámetro previamente constante.