Derivada de mentira frente a derivada covariante en el contexto de vectores Killing

Buena pregunta. Una forma de pensarlo es que dada una métrica$g$, la declaración$\mathcal L_Xg = 0$dice algo sobre la métrica , mientras que$\nabla_Xg = 0$dice algo sobre la conexión . Ahora que$\mathcal L_Xg = 0$dice, es que el flujo de$X$, donde se define, es una isometría para la métrica, mientras que$\nabla_Xg = 0$dice que$\nabla$transporta un par de vectores tangentes a lo largo de las curvas integrales de$X$de tal manera que su producto interior sigue siendo el mismo.

Como ejemplo, considere el modelo del semiplano superior del plano hiperbólico. Su métrica es$y^{-2}(dx^2 + dy^2)$, tan claramente$\partial_x$es un campo vectorial Killing; su flujo, traslación horizontal, es una isometría. El hecho de que$\nabla_{\partial_x}g = 0$no dice nada sobre$g$, pero sí dice que el transporte paralelo euclidiano es compatible con esta derivada direccional de la conexión.

Ahora considera$\partial_y$. Esto, por supuesto, no es un campo vectorial Killing, ya que la traslación vertical no es una isometría. Sin embargo, la conexión se puede hacer de tal manera (mediante el teorema de Levi-Civita) que un par de vectores tangentes se pueden transportar en paralelo de tal manera que se conserve el producto interno.

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Creo que tengo un ejemplo más ilustrativo: considere la esfera incrustada en$\Bbb R^3$. Elija un eje y tome el campo vectorial de velocidad$\xi$asociado a la rotación alrededor del eje a una velocidad angular constante. Considere también un segundo campo vectorial$\zeta$que está en todas partes (en una vecindad del ecuador, se extiende de manera uniforme hacia los polos) proporcional a$\xi$, pero que tiene velocidad constante en todas partes, algo como en esta imagen

(descargado de esta página ).

Obviamente$\xi$es un Killing field, ya que se integra a una isometría. Una forma inmediata de ver eso.$\zeta$no es, es por notar que las curvas paralelas al ecuador permanecen paralelas al ecuador bajo el flujo de$\zeta$, por lo tanto, también lo hacen sus vectores tangentes. Lo que sucede con una curva cuyo vector tangente en el ecuador apunta hacia un polo, es que el flujo de$\zeta$mueve el punto en el ecuador en un ángulo más pequeño que un punto sobre el ecuador, por lo que estos dos vectores no permanecen perpendiculares. Para el transporte paralelo, por otro lado, dos vectores tangentes perpendiculares a un punto en el ecuador permanecerán perpendiculares tanto bajo$\xi$y en$\zeta$, ya que solo dependen de la restricción a los campos vectoriales al ecuador, donde son iguales. Esto no dice nada acerca de que el campo vectorial genere una isometría, es decir, que sea un campo vectorial Killing.

Como derivadas, las derivadas de Lie y covariantes implican comparar tensores en diferentes puntos de la variedad. Difieren en la prescripción dada para comparar los tensores en dos puntos diferentes.

El concepto clave con una derivada covariante$\nabla_\xi = \xi^a\nabla_a$es transporte paralelo. Se define de modo que a medida que te mueves a lo largo de una geodésica en la dirección de$\xi^a$, se conservan los productos internos entre vectores transportados en paralelo. Este producto interno involucra necesariamente a la métrica (es básicamente para lo que sirve la métrica), por lo que la derivada covariante también es necesariamente dependiente de la métrica. Para que esta definición tenga sentido, también es importante que la métrica se transporte en paralelo en todas las direcciones, lo que conduce a la condición definitoria de la que probablemente esté al tanto,$\nabla_a g_{bc}=0$.

Por el contrario, la derivada de Lie$£_\xi$da el cambio en un tensor debido a un difeomorfismo. Le dice cómo cambia un tensor debido a una familia de difeomorfismos de un parámetro que sigue los flujos del vector$\xi^a$. Dado que los difeomorfismos no hacen referencia a una métrica, una de las propiedades clave de las derivadas de Lie es que no dependen en absoluto de cuál sea la métrica.

Otra manera muy buena de pensar en las derivadas de Lie es usar un sistema de coordenadas adaptado al vector$\xi^a$, por lo que tiene componentes$\xi^\alpha = \delta^\alpha_0$. Entonces, en este sistema de coordenadas, la derivada de Lie es simplemente la derivada parcial$\partial/\partial x^0$. La ecuación de Killing en este sistema de coordenadas es$£_\xi g_{\alpha\beta} = \frac{\partial}{\partial x^0}g_{\alpha\beta} = 0$, es decir, la métrica no depende de la coordenada$x^0$. Esto debería tener un gran sentido intuitivo ahora: la métrica es la misma incluso cuando fluye a diferentes valores de$x^0$.

Esperemos que esto ilustre las grandes diferencias entre las dos derivadas: la derivada covariante debe usarse para medir si un tensor se transporta en paralelo, mientras que la derivada de Lie mide si un tensor es invariante bajo difeomorfismos en la dirección del vector.$\xi^a$.

Dejar$T$ser un campo tensor,$V$un campo vectorial, intuitivamente:

• Derivada covariante$\triangledown_V T$mide qué tan lejos está un tensor de ser transportado en paralelo a lo largo de un campo vectorial$V$.

• mentira derivada$\mathcal L _V T$mide cuánto cambia un tensor bajo el grupo de transformaciones de un parámetro generado por el campo vectorial$V$.

El transporte paralelo es una noción muy específica que depende de la conexión que elijas. De hecho, es posible elegir una conexión en la que el transporte paralelo no tenga la interpretación geométrica de 'geometría transportada a lo largo de una curva'. En ese caso, todo lo que mide la derivada covariante es 'cuán diferentes$T$es de algún otro tensor arbitrario$S$, dónde$S$es un tensor que se transporta en paralelo.

Por otro lado, como bien sabes, la derivada de Lie no tiene una dependencia tan tonta de tu conexión. Por definición, mide el cambio del tensor a lo largo de una curva integral de$V$, siempre.

La noción de derivada requiere una noción de comparación. En una variedad general, los vectores tangentes en diferentes puntos pertenecen a espacios vectoriales totalmente diferentes (ver nota al pie 1), por lo que debemos definir una forma de mapear un vector tangente a otro espacio tangente que tomaremos, por definición , como el "invariante imagen" del vector en el nuevo espacio tangente para que podamos compararsu imagen bajo otras transformaciones con esta imagen invariable con el fin de calcular una "derivada" a través del proceso de limitación apropiado (ver nota al pie 2). Esto no es exactamente como la noción elemental - y dependiente de coordenadas - de una derivada, por lo que hacemos nuestra definición para que nuestra derivada sea tan parecida a la elemental en sus propiedades algebraicas. La regla del producto de Liebnitz es la más importante entre ellas, y tanto la derivada de Lie como la covariante son derivaciones del álgebra de campos vectoriales uniformes en una variedad: ambas cumplen la regla de Leibnitz (ver nota al pie 3) y ambas son definiciones libres de coordenadas.

Así que creo que resumiría una respuesta para usted así: en el sentido de que hay más de una forma de definir la "imagen invariante" de un vector tangente para calcular una "derivada", no hay una noción de " derivado direccional". Ambos son derivados direccionales.

Una derivada de Lie es la derivada de un campo vectorial a lo largo del flujo de un campo "de referencia",$\xi$en su notación. Es como si un topógrafo pionero hubiera mapeado la variedad por adelantado al establecer un campo que usamos para comparar todos los demás campos. Todo se mide por su relación con$\xi$.

Digo un poco más sobre los derivados de Lie en mi sitio web: la discusión es aproximadamente un cuarto de esta página, alrededor de la Figura 11.1:

"Grupos de mentiras como variedades: la definición de grupo de mentiras convencional 2"

Por el contrario, la derivada covariante no necesita un campo de "punto de referencia". Todo se define en términos de la métrica, que en física es lo "físico": define qué medidas de longitud haremos como pequeñas criaturas que viven en la variedad. Se puede visualizar así: incrustar la variedad en un espacio euclidiano (o minkowskiano) de mayor dimensión a través de una incrustación isométrica (según el teorema de Nash, esto siempre se puede hacer). Luego calcule los vectores tangentes en la derivada habitual más alta. La derivada covariante de Levi-Civita (otras son posibles) de algún vector a lo largo de la dirección de un vector tangente es el componente de la derivada direccional "elemental" (en el espacio de incorporación dimensional superior) del vector que es tangencialal múltiple. Descartamos el componente normal como debido a la flexión de la variedad misma, en lugar de debido a la variación "intrínseca" del objeto geométrico que estamos tratando de medir.

También podemos definir la derivada covariante sin el espacio dimensional superior de forma abstracta como una conexión sin la métrica. Hay entonces dos tensores que se definen de forma abstracta para medir la desviación de una variedad de su cumplimiento del postulado de las paralelas de Euclides, la curvatura y la torsión. Ambos son cero en un vecindario si y solo si el postulado de las paralelas de Euclides se cumple en todo el vecindario. Se puede demostrar, en una variedad de Riemann, donde se puede definir una métrica, que hay una conexión única definida de esta manera que tiene una torsión que se desvanece, y todo el comportamiento no euclidiano está codificado en la curvatura.

Notas al pie:

1. Piense en los planos tangentes a las 2 esferas incrustadas en el espacio euclidiano tridimensional: dos planos tangentes son, en general, espacios vectoriales totalmente diferentes.

2. Históricamente, Élie Cartan y los geómetras de finales del siglo XIX y principios del XX primero pensaron en términos de planos tangentes que ruedan sin deslizarse sobre una variedad bidimensional para hacer este mapeo.

3. Si no ha investigado antes la noción de una derivación, hágalo. Es sorprendente la cantidad de cálculo diferencial elemental que se puede derivar solo de la regla del producto de Leibnitz.