¿Tiene ∇⋅E⃗ ∇⋅E→\nabla \cdot \vec{E} el mismo significado que el producto escalar a⃗ ⋅b⃗ =|a||b|cos(θ)a→⋅b→=|a||b| cos⁡(θ) \vec{a}\cdot \vec{b}=|a| |b| \cos(θ)?

Cuando el operador del está involucrado, ¿cambia el significado del producto punto y cruz de los vectores? Eso es, ∇ ⋅ h → se define como sigue:

∇ ⋅ h → = ∂ h X ∂ X + ∂ h y ∂ y + ∂ h z ∂ z .

¿Cómo se puede interpretar esto en la forma forma a → ⋅ b → = | a | | b | porque ⁡ ( θ ) ?

La segunda parte de la pregunta es, ¿dónde más se usa el producto escalar en física además de la definición de trabajo y en las ecuaciones de Maxwell? ¿Es posible obtener una lista exhaustiva?

No creo que pueda. El ∇ es un operador, que no tiene significado por sí mismo sin que se opere con otro vector, por lo que podría entender por qué tener una magnitud no tendría ningún sentido. Entonces, no, no creo que sea una interpretación en términos de a ⋅ b = | a | | b | porque ⁡ θ .
El ∇ El operador se usa siempre que se requiere un gradiente de alguna función, o la divergencia, o la circulación de un vector (rotación). Forma la base del cálculo vectorial y aparece en todas las ecuaciones de continuidad. (Puede averiguar por qué haciendo las matemáticas).
¿Está interesado en la definición geométrica general de ∇ α mi β en el contexto de la geometría diferencial y su traza ∇ α mi α ? Es una historia que no hace un uso muy complicado de este ‖ a → ‖   ‖ b → ‖   porque ⁡ θ definición por lo que probablemente será poco esclarecedor, pero es la imagen geométrica para lo que ∇ realmente lo hace y tiene el sorprendente drama que ∇ α sólo se define hasta un [ 1 , 2 ] -campo tensor de valencia.

Respuestas (4)

Sí, es el producto escalar habitual, pero no, no lo es. a → ⋅ b → = | a | | b | porque ⁡ ( θ ) .

La cosa es que a → ⋅ b → = | a | | b | porque ⁡ ( θ ) no es una definición del producto interno, sino una relación que puede derivar de una definición cuando los vectores involucrados son miembros de R norte o algún otro campo con las mismas propiedades algebraicas. Pero ∇ es miembro de un espacio muy diferente.

Así que la lección es que es un error pensar en a → ⋅ b → = | a | | b | porque ⁡ ( θ ) como una propiedad definitoria del producto escalar.

yo no escribiria ∇ → ya que el punto central de su argumento es que ∇ es un operador y no forma parte de R norte , por lo que poner una flecha en la parte superior contradice eso.
@JamalS es mucho mejor escribir ∇ → ya que es un "vector" en el sentido de que, si lo alimenta con un escalar, el resultado es un vector, y puede "tomar el producto interno" de ∇ → con un vector para obtener un escalar. Por supuesto, la propiedad de simetría a → ⋅ b → = b → ⋅ a → no funciona, por lo que "no es realmente" un vector.
@ZeroTheHero En realidad, no es una notación consistente, ya que no escribimos el Laplaciano ∇ ⋅ ∇ como | ∇ → | 2 :)
@JamalS bueno... r → ⋅ r → = r 2 es bastante común, como lo es ∇ → ⋅ ∇ → = ∇ 2 . Estoy de acuerdo en que hay que tener cuidado , pero muchas identidades del cálculo vectorial son muy análogas a las identidades del álgebra vectorial. Para usar con cuidado, pero el uso cuidadoso puede ser bastante perspicaz.
Creo que @JamalS es fundamentalmente correcto, pero cuando era estudiante, mis instructores lo usaban como una especie de azúcar sintáctico para recordarles a los estudiantes que 'este símbolo participa del álgebra de vectores', y parece ayudar a mis estudiantes también. Así que tengo la costumbre de escribirlo de manera casual.
@dmckee, sí, te escucho. Aquí igual. Es conveniente pero si se hace a ciegas puede meterte en problemas.
@dmckee, señor, la gente parece estar definiendo el producto escalar como |a|.|b|.cos(θ) en todo Internet y lo llaman "definición geométrica". ¿Podría dar más detalles sobre la definición del producto escalar en sí y cómo? ∇⋅h Indíqueme el material correcto que debo investigar.
@SatheeshPaul Si observa detenidamente, la mejor referencia restringe esa definición a "espacio euclidiano" o algo similar. En general, los productos escalares tienen que obedecer a un pequeño conjunto de propiedades y elegir qué producto usar define las propiedades de su sistema. Pero para cantidades que pueden escribirse de forma compartida (es decir, escribirse en forma de coordenadas), la opción más común es a ⋅ b ≡ ∑ i a i b i que se puede aplicar a un símbolo con valor de operador como ∇ .

No hay interpretación de ∇ ⋅ mi → como a → ⋅ b → = | a → | | b → | porque ⁡ θ Debido al hecho de que ∇ es un operador y no es parte de un espacio vectorial en la forma en que mi → ∈ R 3 .

El porque ⁡ θ relación se basa en una vista geométrica del producto interior en R 3 y esto no es aplicable como ∇ como se mencionó anteriormente, no se puede caracterizar como una entidad geométrica en el espacio vectorial.

Podemos pensar en la divergencia como un mapa R norte → R ya que produce un campo escalar a partir de un solo campo vectorial. En otros contextos, por ejemplo, ∇ 2 puede verse como perteneciente a un álgebra de Weyl.

Aquí hay un punto de vista complementario. En algunas circunstancias ∇ ⋅ mi → tiene una interpretación (casi) como un producto escalar estándar. Decir mi → ( X , t ) es una onda plana

mi → ( X , t ) = mi → ( k ⋅ X − C t )
dónde k es número de onda y C es la velocidad de la onda. Entonces, la divergencia de mi → toma la forma
∇ ⋅ mi → = k ⋅ mi → ′
dónde mi → ′ es la derivada de mi → con respecto a la fase k ⋅ X − C t . Entonces nada te impide decir eso.
∇ ⋅ mi → = | k | | mi → ′ | porque ⁡ θ
dónde θ es el ángulo entre mi → ′ y k . Tenga en cuenta sin embargo que k y mi → ′ tienen unidades diferentes y pertenecen a dos "espacios muy diferentes" como se destacó en la respuesta de dmckee.

Si lo tomas mi → para ser una onda armónica, las cosas se vuelven aún más simples (piense en cómo cambian las derivadas bajo una transformada de Fourier).

Más generalmente, el ∇ El operador, ya sea que denote una divergencia, un rizo o un laplaciano, se comportará de manera muy similar a como lo hacen los vectores para las ondas planas. Para otros tipos de ondas/campos, su acción es más compleja, pero diría que no tan diferente en lo fundamental.

Como usted dice, una característica de la forma en que la función exponencial se comporta bajo la diferenciación, pero es un caso muy común que vale la pena conocer.

@JamalS ha proporcionado la razón más formal de por qué no quiere pensar en ∇ como vector, pero aquí hay algunas razones (convenientes pero no formales) de por qué puede ser útil hacerlo.

∇ → ⋅ h → tiene algo del significado de un producto escalar en el sentido de que

a → ⋅ b → = a X b X + a y b y + a z b z
se copia a
∇ → ⋅ h → = ∂ ∂ X F X + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z F z
si piensas en ∇ → = X ^ ∂ ∂ X + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z , es decir, si piensas en ∇ → como un vector con componentes ( ∂ ∂ X , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) .

Además, hay varias identidades vectoriales que tienen una interpretación de cálculo vectorial si piensas en ∇ → como vector Por ejemplo, desde a → × a → = 0 , puede "exportar" esto para obtener información sobre

∇ → × ∇ → F = 0 ,
para cualquier función escalar F . También puede "exportar" a → ⋅ ( a → × b → ) = 0 comprender intuitivamente
∇ → ⋅ ( ∇ → × A → ) = 0 .
También un vector multiplicado por un escalar produce un vector, muy parecido a ∇ → F es un vector

Sin embargo , no todas las propiedades del producto escalar habitual se pueden "exportar" a ∇ → . Por ejemplo, a → ⋅ b → = b → ⋅ a → pero

( ∇ → ⋅ h → ) F ≠ ( h → ⋅ ∇ → ) F .
Entonces, si bien es conveniente pensar en ∇ → ⋅ h → como un producto escalar, y conveniente pensar en ∇ → como vector, uno debe hacerlo con cuidado, de lo contrario, las manipulaciones ciegas pueden causarle problemas.

¿Tiene ∇⋅E⃗ ∇⋅E→\nabla \cdot \vec{E} el mismo significado que el producto escalar a⃗ ⋅b⃗ =|a||b|cos(θ)a→⋅b→=|a||b| cos⁡(θ) \vec{a}\cdot \vec{b}=|a| |b| \cos(θ)?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v