¿Existe un enfoque axiomático aceptado para la relatividad general?

Estoy leyendo el libro Gravitation and Cosmology de Steven Weinberg. Le da mucha importancia al principio de equivalencia y mostró un montón de deducciones que puedes hacer en base a él. Esto me sorprendió ya que otros libros que he leído no lo han enfatizado tanto.

Mi pregunta:

¿Existe un conjunto aceptado de axiomas o principios que constituyan las premisas centrales de GR de las cuales se puedan deducir muchas, la mayoría o todas las propiedades relevantes?

Puede escribir los axiomas de la geometría pseudo-riemanniana e identificar algunas de las cantidades matemáticas con palabras en el aire como "espacio", "tiempo", "trayectoria del observador", etc. No creo que necesite el principio de equivalencia para esto cierra un enfoque de cálculo, pero puedes verlo realizado en la teoría de Einstein, si doblas tus palabras correctamente. Históricamente, el principio es más un principio rector. No estoy seguro de hasta qué punto puede sostenerse exactamente en GR si amuebla su espacio con cuerpos que tienen un ancho finito, de modo que las trayectorias 1d en realidad no describen las rutas del cuerpo.
Además, he visto este documento vinculado aquí, que podría contener más información: especialmente sobre cómo evolucionaron las ideas y nociones: covarianza general y los fundamentos de la relatividad general: ocho décadas de disputa . Estos dos ahora tardaron mucho en comentar, por favor, que alguien me diga cuándo debo eliminarlo, después de que OP obtuvo el enlace en papel.
Axiomas!?! ¡Este no es el Math StackExchange! :)
Tenga en cuenta que los axiomas en el sentido de Weinberg no es una interpretación rigurosa de la palabra "axioma". Weinberg también construye QFT "axiomáticamente" a partir de la invariancia de Lorentz y el principio de descomposición de grupos, pero su construcción no es exactamente lo que convencionalmente se llamaría QFT axiomático .
@ACuriousMind Eso parece un uso casual de la palabra "axioma", al menos en comparación con un matemático.
A la luz de las dos respuestas ya dadas, y la especificación de la relatividad general a través de algunos axiomas que ni siquiera incluyen las ecuaciones de campo, también quiero señalar estos enlaces de Wikipedia con alrededor de 50 alternativas de teoría métrica a la relatividad general .

Respuestas (2)

La relatividad general se puede construir a partir de los siguientes principios:

  1. El principio de equivalencia

  2. Suposición de torsión nula ( ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] )

  3. La ecuación de Poisson (o cualquier otra ecuación mecánica newtoniana equivalente)

Explicaciones:

  1. El principio de equivalencia se puede utilizar para mostrar que el espacio-tiempo es localmente minkowskiano, es decir, las leyes de la relatividad especial se cumplen en una región infinitesimal alrededor de un observador en caída libre. Esto es equivalente a la idea matemática de que una variedad de dimensión norte es localmente homeomorfo a R norte . Esto permite hacer dos cosas (que se me ocurren en este momento). Concluimos que el espacio-tiempo es una variedad. También podemos hacer las sustituciones. η → gramo y ∂ → ∇ , que produce las ecuaciones GR correctas (hay excepciones).

  2. Esto es necesario para que la ecuación geodésica se pueda obtener a partir de un principio variacional porque implica que los símbolos de Christoffel son simétricos. Esta condición se relaja en ciertas teorías como la teoría de Einstein-Cartan o la teoría de cuerdas.

  3. En pocas palabras, necesitamos esta ecuación para fijar las constantes en la ecuación de Einstein.

Todos los tratamientos de GR utilizan el Principio de Equivalencia. Especialmente el trato de Weinberg. La razón de esto tiene que ver con su formación como físico. Weinberg fue (y es) uno de los más grandes físicos de partículas vivos. Su sueño era escribir una teoría cuántica de campos coherente para la gravedad. En su mente, gramo m v ser llamado tensor métrico es un término "anticuado" que quedó de cuando Einstein aprendió geometría diferencial de su amigo Grossmann y los viejos documentos de Riemann & co. 1 . En la mente de Weinberg, gramo m v es solo el campo de gravitones, y cualquier conexión con la geometría es puramente formal 2 . En textos como Carroll, Straumann o Wald, utilizan el EP para hacer la conexión

(1) Principio de equivalencia ⟹ El espacio-tiempo es una variedad.
A partir de ese momento, se supone que el espacio-tiempo es una variedad. Weinberg, sin embargo, era de la opinión de que la gravedad no tenía nada que ver con la geometría y las variedades y esta descripción matemática era una pura formalidad. Tiene que recalcar el EP porque filosóficamente no aceptaba (1).

1 Véase el primer párrafo del apartado 6.9.

2 Véase, por ejemplo, la página 77, donde llama a la ecuación geodésica una mera analogía formal con la geometría.

¿No necesitas también que la conexión sea compatible con la métrica?
@MBN: una vez que tengamos símbolos de Christoffel simétricos, podemos construir una conexión métrica. La afirmación más general sería decir que la variedad es pseudo-Riemanniana. En una variedad pseudo-Riemanniana, la conexión Levi-Civita es única.
Una pregunta sobre el punto de vista filosófico de Weinberg; ¿Su interpretación de la relatividad produce resultados diferentes o cambia algo?
@PhysicsLlama: No que se me ocurra. Las consecuencias son principalmente de naturaleza académica. A pesar de que G&C es un texto de posgrado, las matemáticas son realmente bastante simples porque considera las nociones geométricas diferenciales más avanzadas de gráficos, homeomorfismos, etc. como una tontería formal. (Weinberg era un purista de callarse y calcular ). Sin embargo, hay una cosa que llama la atención: a pesar de que G&C se escribió en 1972, los agujeros negros no se encuentran en ninguna parte del libro. Un vistazo a la tabla de contenido revela una sección de una página sobre la singularidad de Schwarzschild. (Continúa en el siguiente comentario).
@PhysicsLlama: En esta sección reconoce que Hawking y Penrose habían demostrado, usando métodos topológicos, que las superficies atrapadas eran factibles. Weinberg, sin embargo, expresa dudas. Por un lado, tenga en cuenta que en 1972 no había evidencia experimental de agujeros negros. Tengo una teoría personal al respecto. Dado que no creía que el espacio-tiempo fuera una variedad, ciertamente no pensaría que la topología pudiera usarse para justificar nada en GR. Además, ¡Weinberg probablemente ni siquiera conocía ninguna topología! No creo que la topología se introdujera en QFT hasta mediados de los 70.
@0celo7 Wow, eso es bastante sorprendente para mí. Intuitivamente, la naturaleza geométrica de GR parece muy atractiva y probablemente hace que la explicación de los fenómenos gravitatorios sea más simple que el enfoque que tomó Weinberg. ¡Por cierto, gracias!
Me gusta mucho tu percepción sobre la actitud de Weinberg hacia la naturaleza de gramo m v . Me di cuenta de que parecía preferir centrarse primero en la física y no en la geometría diferencial o riemanniana en términos de su enfoque de la enseñanza. Pero no me di cuenta de que la interpretación del campo de gravitones era parte de por qué él también podría preferir ese enfoque.
Con respecto a mi pregunta específicamente, es difícil para mí decidir si aceptar o no esta respuesta. He visto suficientes puntos de vista ahora que parece que no hay consenso. Ninguna de las respuestas dadas hasta ahora aborda la cuestión de si existe o no un conjunto aceptado de axiomas. La pregunta en realidad no estaba pidiendo los axiomas, ya que supuse que podría haber un desacuerdo considerable o un consenso aceptado, uno o cualquiera. Si es lo primero, entonces no existiría una respuesta y si es lo segundo, habría un conjunto de axiomas.
Sí, si hubiera un conjunto aceptado, me gustaría verlos. Pero la pregunta es probablemente demasiado amplia si se interpreta como que pide los axiomas si no existe consenso. Si no recibo más respuestas, aceptaré porque el comentario de Weinberg me resultó particularmente útil.
@StanShunpike: Creo que hay un consenso, al menos en la literatura general. El principio de equivalencia es GR. No es posible formular GR sin él. Como dijo ACuriousMind, estos no son realmente axiomas. Mi tercer "axioma" ciertamente no es un axioma, solo una verificación de consistencia.
@StanShunpike: (Descargo de responsabilidad: solo tengo un conocimiento superficial de la teoría de cuerdas). Sin embargo, no creo que necesitemos el EP para derivar GR de ST. El teorema de Weinberg-Witten establece que la excitación sin masa de espín 2 de la (super) cuerda es el gravitón. Tenga en cuenta que ST tiene otras suposiciones y "axiomas" que no se encuentran en GR.

Creo que uno puede entrar en una disputa con respecto a la noción de "aceptado", pero la idea es que la Relatividad General se describe con éxito mediante una Variedad Pseudo-Riemanniana, sujeta a las Ecuaciones de Einstein, con objetos en caída libre siguiendo geodésicas. Ahora busca un conjunto de axiomas que le den esta estructura. Uno de esos conjuntos, aunque no del todo riguroso, se encuentra en un artículo de Ehlers, Pirani y Schild llamado "La geometría de la caída libre y la propagación de la luz ". Les daré una breve discusión de los contenidos.

Comience con dos principios, (1) el principio de equivalencia de Einstein y (2) la finitud de la velocidad de la luz. La primera dice que los objetos en caída libre en el campo gravitatorio están en movimiento inercial y la segunda dice que no sólo la luz los atraviesa a una velocidad finita sino que nada va más rápido que ella.

En otras palabras, el principio (1) dicta que la trayectoria de caída libre es una línea "recta", desde el punto de vista de un observador, como lo es una trayectoria de velocidad constante en la física newtoniana. El principio (2) establece que dado que todo viaja a una velocidad finita, existe una relación causal entre los eventos, es decir, si dos eventos tienen una distancia espacial mayor que la velocidad de la luz por el tiempo de separación, no pueden tener una relación de causa-efecto, ¿cuál de supuesto implica en la relatividad de la simultaneidad y otras cosas de la relatividad especial.

En un sentido más específico, el principio (1) te da un conjunto de "líneas rectas", es decir, un conjunto de geodésicas, mientras que el principio (2) te da un conjunto de relaciones causales entre eventos. En el artículo de Ehlers, Pirani y Schild llaman a estas dos estructuras (1) una estructura proyectiva y (2) una estructura conforme. Luego muestran que estos dos, con el supuesto de que son compatibles y los relojes se comportan de manera razonable. implican la existencia de una métrica lorentziana única y un tensor de Riemann, junto con la interpretación de geodésicas y conos de luz. Solo resta exigir que la desviación geodésica sea compatible con la de la teoría newtoniana para obtener las Ecuaciones de Einstein.

Proporcionan un conjunto de axiomas que abordan cada parte de las suposiciones, pero todo se remonta a estos dos principios, la equivalencia de Einstein y la velocidad finita de la propagación de la luz.

Como comentario, puede notar que esta idea es muy diferente de lo que expone Weinberg, a saber, que la geometría no es fundamental en esta descripción, pero, como él mismo dice en la página 147, este es un punto de vista heterodoxo no suscrito por general. relativistas. Por otro lado, es, hasta donde yo sé, el punto de vista principal en la teoría de cuerdas.

¿Cómo esos axiomas dan lugar a la noción de una variedad pseudo-Riemanniana? (No lo desafío, simplemente no tengo acceso al papel).
Ningún problema. Como dije, no es del todo riguroso, pero la idea es esta: la estructura conforme dicta qué eventos son similares al espacio, al tiempo o nulos. En otras palabras, define una métrica conforme, es decir, un conjunto de métricas junto con una relación de equivalencia gramo m v ≡ h m v si gramo m v = Ω 2 h m v . En otras palabras, la estructura conforme elige una métrica solo hasta un factor positivo. Diferentes funciones Ω dar diferentes geodésicas. Al elegir la estructura proyectiva, fija el factor de escala. Entonces obtienes la métrica lorentziana completa.
Olvidé mencionar que hay algunas suposiciones adicionales para garantizar la singularidad. Las estructuras conformales más proyectivas deben ser compatibles (las geodésicas nulas deben contener puntos con separación nula), e incluso entonces es necesario suponer que un vector, cuando se transporta en paralelo al mismo punto a lo largo de diferentes curvas, aunque puede cambiar de dirección, no cambia la norma. .
¿Existe un enfoque axiomático aceptado para la relatividad general?
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