Más sobre la forma cerrada de un péndulo simple

El péndulo simple es el que utiliza la aproximación de ángulo pequeño. No es necesario usar una barra sin masa ya que cualquier momento de inercia se puede expresar como$mr^2$para algunos$r$. Así que realizaré una derivación rápida de las ecuaciones de movimiento y compararé la solución exacta de la ecuación aproximada (linealizada localmente) y repasaré cómo llegar a la integral elíptica para la ecuación real.

Además, creo que es posible que haya cometido un error al pasar de la ecuación de segundo orden a la ecuación de primer orden, pero no veo ningún trabajo, por lo que en realidad no puedo decirlo. El final se parece a lo que tiene wikipedia, pero eso no se basa en la ecuación linealizada, por lo que sería muy inesperado. Además, usted dice que la ecuación es para no especificado$\dot{\theta}_0$pero la raíz cuadrada implica que$cos\theta\geq cos\theta_0$entonces, si envío un péndulo a alta velocidad desde la horizontal, su orientación se volvería compleja. Algo parece extraño.

---

Mirando la ecuación para el péndulo no amortiguado - barra sin masa fijada alrededor de un punto, el otro extremo fijado a una masa puntual - donde$\theta$es el ángulo desde la vertical, podemos escribir el Lagrangiano, y luego las ecuaciones de movimiento.

$$L = ml^2{\dot{\theta}}^2 - mgl (1-cos\theta)\\ \frac{d}{dt}\bigg[\frac{\delta L}{\delta \dot{\theta}} \bigg] - \frac{\delta L}{\delta \theta}=0 \\ ml^2\ddot{\theta} + mgl~sin\theta = 0 \\ \ddot{\theta} + \frac{g}{l}~sin\theta = 0$$

A partir de aquí, podemos hacer la aproximación,$sin\theta\approx\theta$que para pequeños$\theta$lo que produce una ecuación que tienes, donde$l{\omega_0}^2=g$. Esta es una ecuación lineal de segundo orden, no hay término de primer orden, las posibles soluciones son$\theta=0$o$\theta=exp(rt)$y si sustituyes el segundo, encontrarás que$r^2+{\omega_0}^2=0$entonces$r$es un número imaginario puro y las soluciones son senos y cosenos de frecuencia$\omega_0$. Este hecho es independiente de la condición inicial. Es importante destacar que el período es constante si usa esta ecuación, es lineal, variable única.

---

Más emocionante es resolver el original, lo reescribiré con una pequeña modificación, multiplicando por$\dot{\theta}$,

$$\dot{\theta}\ddot{\theta} + \dot{\theta}\frac{g}{l}sin\theta = 0$$

A partir de aquí, lo haré, sea C una constante de integración.

$$\frac{d}{dt} \bigg[\dot{\theta}^2/2 - \frac{g}{l}cos\theta\bigg] = 0 \\ \dot{\theta}^2/2 - \frac{g}{l}cos\theta = C \\ \frac{d\theta}{dt} = \sqrt{ 2C+2\frac{\strut g}{l}cos\theta} \\ \int d\theta\bigg/\sqrt{ 2C+2\frac{\strut g}{l}cos\theta} = \int{dt}$$ La última parte es difícil. Pero lo único que puedo decir es que $C$es probablemente proporcional a la energía total del sistema ya que se conserva y tiene $s^{-2}$en eso.