¿Cuál es la razón física por la cual el potencial gravitacional (o potencial eléctrico) debido a dos masas en un punto puede simplemente sumarse algebraicamente?

La explicación simple que dicen los libros de texto e Internet es que "el potencial gravitacional es una cantidad escalar, por lo tanto, se puede sumar algebraicamente".

Sin embargo, no estoy seguro de si es tan simple. Tomemos, por ejemplo, en el punto O, donde está en el eje horizontal que conecta el centro de la Luna y el centro de la Tierra, de modo que la fuerza del campo gravitatorio en ese punto es cero. Cualquier punto por encima o por debajo del punto O tendrá una fuerza de campo gravitatorio neto que es la suma vectorial de la fuerza del campo gravitatorio de la Tierra (g tierra ) y la Luna (g luna ). Esta suma vectorial será más pequeña que (g tierra )+(g luna ) pero mayor que (g tierra ) o (g luna ) solos.

Volvamos ahora a la definición de potencial gravitacional en un punto de un campo gravitatorio, que es el trabajo realizado (por un agente externo) por unidad de masa al mover una masa desde el infinito hasta ese punto. Este trabajo realizado será la integral de la intensidad del campo gravitatorio con respecto a la distancia desde la fuente del campo.

Por lo tanto, dado que la intensidad del campo gravitatorio en el punto O debido a la Luna y la Tierra es cero, y el hecho de que la intensidad del campo gravitatorio por encima y por debajo del punto O no es (g tierra )+(g luna ), por lo tanto, el trabajo realizado por unidad de masa en mover una masa desde el infinito hasta el punto O no será tan simple como sumar el potencial gravitacional debido a la Luna y la Tierra algebriicamente.

¿Estoy en lo correcto?

No estoy seguro si entiendo completamente tu razonamiento. Estás diciendo que la magnitud de la suma vectorial cerca del punto O es menor que la suma de las magnitudes de cada fuerza, ¿esto significa que no puedes sumar las contribuciones de energía potencial de cada fuerza? ¿Te estoy entendiendo bien?
@AaronStevens Correcto, eso es lo que quise decir, corríjame si hay algún razonamiento defectuoso.
Usted menciona explícitamente que: "dado que la fuerza del campo gravitatorio en el punto O debido a la Luna y la Tierra es cero", no sé si esto se relaciona con la falla en su pensamiento, pero permítame enfatizar: el potencial gravitacional en el punto O no es lo mismo que en el infinito. Claro, el potencial gravitacional en el punto O es más alto que en la Tierra o la Luna, porque si te mueves del punto O a la Tierra o la Luna, vas a un potencial algo más bajo. Aún así, pasar del infinito al punto O ya es la mayor parte de la caída potencial.
@Cleonis Correcto, también he pensado en esa parte de mi razonamiento (la intensidad del campo gravitacional en el punto O es cero, lo que puede sugerir que el potencial gravitatorio en ese punto sea cero). Sin embargo, he razonado esa parte imaginando mover una masa desde el infinito hasta el punto O. En el proceso de mover esa masa hasta el punto O, se debe haber realizado un trabajo contra la fuerza del campo gravitacional alrededor del punto O, por lo tanto, habrá un potencial en punto o.
Es una postulación. (una forma de verlo) es lo mismo que por qué podemos superponer fuerzas.

Respuestas (2)

Parece que estás confundiendo magnitudes vectoriales con potenciales.

Los potenciales son de hecho aditivos porque las fuerzas son aditivas, lo cual se confirma experimentalmente.

Si F → = F → 1 + F → 2 , y sabemos que para una fuerza conservativa F → = − d tu d X X ^ entonces nosotros tenemos

− d tu d X X ^ = − d tu 1 d X X ^ − d tu 2 d X X ^

Entonces podemos integrar ambos lados con respecto a X Llegar

tu = tu 1 + tu 2 + tu 0

Dónde tu 0 es una constante. Así que ve que los potenciales se suman dado que las fuerzas se suman, lo que parece que está de acuerdo en que es cierto. Este argumento también funciona en más de una dimensión. Nótese también que nada de esto depende de cómo las magnitudes de F 1 y F 2 comparar entre sí o su suma.

También podemos usar lo que hace referencia sobre hacer trabajo desde el infinito:

tu = − ∫ ∞ O F → ⋅ d X → = − ∫ ∞ O F → 1 ⋅ d X → − ∫ ∞ O F → 2 ⋅ d X → = tu 1 + tu 2

Si lo piensas bien, estos dos métodos no son tan diferentes. Este último sólo determina qué tu 0 es estableciendo el potencial para 0 en el infinito

El punto O es un punto de equilibrio inestable. Esto significa que la energía potencial está realmente en un máximo local en el punto O. Las fuerzas solo determinan la pendiente/gradiente de la energía potencial, no los valores de la energía potencial. Esto es evidente a partir del trabajo anterior y sabiendo que siempre se puede agregar una constante a la energía potencial sin cambiar la física.

Gracias por la respuesta. Pero, ¿hay alguna explicación de por qué las fuerzas son aditivas? Estoy imaginando que un objeto colocado sobre el punto O experimenta una fuerza A de la Tierra y una fuerza B de la Luna, y por lo tanto la fuerza neta, C, que experimenta el punto O es la suma vectorial de la fuerza A y B (que no es tA+B).
Las fuerzas son aditivas porque así es como funciona nuestro universo. En cuanto a su ejemplo, está mezclando la suma de vectores y la suma de sus magnitudes. Al sumar fuerzas siempre es una suma vectorial. No importa a qué sumen las magnitudes.
@BobbyLeung A → + B → = 0 → no nos dice nada sobre qué | A → | + | B → | = A + B es. Una suma no determina nada sobre la otra en general.
La ley del paralelogramo de la suma de fuerzas se descubrió experimentalmente y fue ese descubrimiento el que mostró la sorprendente conexión entre la geometría y la mecánica. Entonces, tal vez la pregunta sea: ¿Por qué las fuerzas actúan de esta manera en tantas situaciones y con tantos fenómenos diferentes, por qué la fuerza gravitatoria o la fuerza eléctrica obedecen a la misma ley simple?
Lea Ernst Mach: La ciencia de la mecánica; El capítulo sobre la ley de fuerzas del paralelogramo. Muchas de sus preguntas serán respondidas.
"Los potenciales son de hecho aditivos porque las fuerzas son aditivas, lo que se confirma experimentalmente". Dentro de la relatividad, ¿verdad?
@ KhalidT.Salem ¿Sus comentarios son para mí o para el OP?
@ rus9384 ¿Puede ampliar lo que está preguntando?
@AaronStevens Son para Bobby
Quiero decir, ¿las fuerzas siguen siendo aditivas a altas velocidades y cerca de objetos muy masivos (agujeros negros, arranques de neutrones, etc.)? Pensé que no son aditivos y la función real es asintótica: la fuerza en un punto dado no puede ser ilimitada.
@ rus9384 Supongo que esta es una pregunta clásica. Sin embargo, el OP puede corregirme si este no es el caso.
Ah, ahora veo en las etiquetas. Perdón por la molestia.
@AaronStevens Muchas gracias por tomarse su tiempo para responder. Creo que estoy empezando a envolver mi cabeza alrededor de esto. Pero solo para confirmar, ¿está diciendo que no debería preocuparme por la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre el objeto en el punto O (es decir, la magnitud de la suma vectorial de A → + B → ), sino que debería preocuparme por la magnitud de las fuerzas individuales que actúan sobre el objeto en el punto O?
@BobbyLeung Ninguno. La magnitud de la fuerza no determina la energía potencial.

La razón física por la que podemos agregar con éxito potenciales gravitatorios en la gravedad newtoniana es porque no posee interacciones propias del gravitón. Dado que la gravedad (newtoniana) no interactúa consigo misma, la teoría resultante es lineal: así que sumando 2 solutions nos da otra solución a la ecuación diferencial de movimiento.

Pero la precesión del perihelio observada en Mercurio no puede explicarse utilizando la gravedad newtoniana precisamente debido a esta ausencia de no linealidades. Por otro lado, la relatividad general (GR) tiene autointeracciones gravitatorias y, por lo tanto, no es lineal; describe correctamente la precesión. La idea de que la gravedad interactúa consigo misma en GR podría remontarse a la idea de defender el principio de equivalencia débil.

Deducir la gravedad newtoniana de GR implica estudiar la versión aproximada de GR llamada relatividad general linealizada donde la métrica se divide en una pequeña perturbación alrededor del espacio plano: gramo m v = η m v + h m v . Las ecuaciones de movimiento para h son lineales y h 00 = − 2 ϕ , dónde ϕ es el potencial gravitatorio newtoniano.

De manera similar, el electromagnetismo es lineal (suponiendo que todas las fuentes y corrientes se mantienen fijas, por lo que no hay efectos de reacción inversa).

¿Cuál es la razón física por la cual el potencial gravitacional (o potencial eléctrico) debido a dos masas en un punto puede simplemente sumarse algebraicamente?
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