Un juego infinito de Penney.

Contexto :
necesito resolver una variación del juego de Penney .

Problema: Dos jugadores ( A y B ) lanza una moneda hasta que aparezca una de las secuencias de victoria. para jugador A la secuencia de la victoria es H T T , para jugador B la secuencia de la victoria es T T H . ¿Cuál es la probabilidad de que A gana y cuál es el número esperado de lanzamientos dado que A ¿ganado?

Mi intento : Intuitivamente, parece que el jugador B es más probable que gane.
Básicamente, confío en que podemos usar las Cadenas de Markov, pero mi idea es solo dibujar un árbol binario y considerar las secuencias en el paso n-ésimo. Mi otra idea era calcular el número esperado de lanzamientos para obtener, digamos, H H eso seria igual a r H H :

r H H = 1 4 mi ( norte tu metro b mi r | H H ) + 1 4 mi ( norte tu metro b mi r | H H ) + 1 4 mi ( norte tu metro b mi r | T T ) + 1 4 mi ( norte tu metro b mi r | T H ) = 1 4 ( 9 + 5 2 r H H )
Y obten r H H .

Mis problemas : Realmente no entiendo cómo unir estas ideas para obtener una solución adecuada.

Si sabemos que A gana, entonces la secuencia no puede comenzar con TT. Si lo hiciera, obtendríamos nada más que T para siempre, un evento de probabilidad 0 que podemos ignorar, o eventualmente obtendríamos H y B ganaría.
¡Sí, gracias por notarlo! Pero todavía no sé cómo conectarlo con el valor esperado.

Respuestas (1)

La probabilidad de que gane el jugador A es 3 4 , por la siguiente lógica. Supongamos que se necesitan más de tres lanzamientos para que el jugador B gane; entonces todos los lanzamientos anteriores deben haber sido T 's, porque si hay incluso un solo H antes de la secuencia T T H , el jugador A ganaría. Así el jugador B solo gana con las secuencias T T H , T T T H , T T T T H , etc, y esas probabilidades se suman a 1 4 .

Dejar X sea ​​el número de lanzamientos esperados para obtener H T T ; también, deja y sea ​​el número de lanzamientos adicionales después de lanzar un H , y z sea ​​el número de lanzamientos adicionales después de lanzar un H T .

Si el primer lanzamiento es un H , entonces el número esperado de vueltas adicionales requeridas es y ; si el primer lanzamiento es un T , entonces el número esperado de lanzamientos adicionales es X . Esto produce la ecuación X = 1 + 1 2 y + 1 2 X .

Del mismo modo, después de voltear un H , si el siguiente lanzamiento también es un H , entonces el número esperado de vueltas adicionales requeridas es y , mientras que si el siguiente lanzamiento es un T , el número esperado de vueltas adicionales requeridas es z .Esto produce la ecuación y = 1 + 1 2 y + 1 2 z .

Finalmente, después de voltear H T , si el siguiente lanzamiento es un H , el número esperado de vueltas adicionales requeridas es y , mientras que si el siguiente lanzamiento es un T , hemos terminado. Esto produce la ecuación z = 1 + 1 2 y .

Simplificando, obtenemos el sistema

X = y + 2 y = z + 2 2 z = y + 2

cuyos rendimientos ( X , y , z ) = ( 8 , 6 , 4 ) .

Por lo tanto, el número esperado de lanzamientos para que gane el jugador A es 8 .

Un juego infinito de Penney.
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