¿Cuál es el enunciado correcto del teorema erróneo de Cauchy sobre la continuidad?

Leí recientemente que Cours incluye un error famoso, o quizás infame, en el que Cauchy establece y prueba un resultado falso sobre sucesiones de funciones continuas. (Aquí, obviamente, función continua significa continuo según la definición intuitiva de continuidad de Cauchy y su noción de continuo junto con el concepto de función de Cauchy).

Parece haber relatos contradictorios de lo que Cauchy en realidad declaró como un teorema.

Algunos interpretan el resultado como diciendo que el límite puntual de una secuencia de funciones continuas es una función continua. Llamemos a esto la "interpretación límite":$f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)$.

Otros dicen, no, no, no - Cauchy está hablando de la serie cuyos términos son una secuencia de funciones, y que interpretado de esta manera el resultado es mucho más "plausible" según la propia definición de continuidad de Cauchy - más plausible en el sentido de que los contraejemplos no son completamente triviales. Llamemos a esto la "interpretación en serie":$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$.

Una traducción reciente (ver TL/DR a continuación) sugiere que la interpretación de la serie es correcta, sin embargo, no está claro si esta traducción es una declaración del teorema original de Cauchy de 1821 o una declaración de su aclaración de 1853.

Pregunta: De acuerdo con la noción de función y continuo de Cauchy, ¿cuál es la interpretación correcta del teorema original de Cauchy de 1821 y su subsiguiente aclaración de 1853?

TL/DR

Wikipedia establece solo la interpretación límite, refiriéndose a "algunos" historiadores y "supuestos" contraejemplos. El artículo de wikipedia sobre convergencia uniforme dice:

Algunos historiadores afirman que Augustin Louis Cauchy en 1921 publicó una declaración falsa, pero con una supuesta prueba, de que el límite puntual de una secuencia de funciones continuas es siempre continuo ; sin embargo, Lakotos ofrece una reevaluación del enfoque de Cauchy. Niels Henrik Abel en 1826 encontró supuestos contraejemplos de esta declaración en el contexto de la serie de Fourier, argumentando que la prueba de Cauchy tenía que ser incorrecta. Cauchy finalmente respondió en 1853 con una aclaración de su formulación de 1821.

Aquí en HSM, la interpretación límite también se asume en la pregunta ¿ Por qué los matemáticos no vieron que$f_n(x) = x^n$es un contraejemplo del "teorema" de Cauchy sobre los límites de las funciones continuas , que comienza con la oración "En 1821, Cauchy afirmó que el límite de una secuencia de funciones continuas es continuo".

En cuanto a la interpretación de la serie, véase, por ejemplo, el blog del usuario MJD del HSM, Cauchy and the continuum

La confusión sobre el controvertido teorema de Cauchy surge de una terminología matemática siempre confusa: una secuencia convergente no es lo mismo que una serie convergente . Cauchy afirmó que una serie convergente de funciones continuas tenía un límite continuo. Nunca afirmó que una secuencia convergente de funciones continuas tuviera un límite continuo. Pero a menudo me he encontrado con afirmaciones de que él hizo eso, aunque tales afirmaciones son extremadamente inverosímiles.

Las palabras de Cauchy, según una traducción reciente

Creo que el teorema en cuestión se da como Teorema 1 en la página 90 de Cauchy 's Cours d'analyse An Annotated Translation de Bradley y Sandifer , Springer 2009 :

TEOREMA 1 - Cuando los diversos términos de la serie (1) son funciones de la misma variable x, continua con respecto a esta variable en la vecindad de un valor particular para el cual la serie converge, la suma s de la serie es también una función continua de x en la vecindad de este valor particular.

Como indica la nota (1), es importante considerar exactamente qué entendía Cauchy por serie y serie convergente . Según la traducción de Bradley y Sandifer, Cauchy utiliza las siguientes definiciones:

Llamamos serie a una secuencia indefinida de cantidades,

$$u_0, u_1, u_2, u_3, \dots ,$$ que se siguen de unos a otros según una ley determinada. Estas cantidades en sí mismas son los diversos términos de la serie en consideración. Dejar $$s_n = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1}$$ Sea la suma de los primeros n términos, donde n puede ser cualquier número entero. Si, para valores siempre crecientes de n , la suma $s_n$se aproxima indefinidamente a cierto límite s , se dice que la serie es convergente y el límite en cuestión se llama suma de la serie.

Así que Cauchy parece estar usando el término serie para describir lo que ahora llamamos secuencia . Sin embargo, cuando se trata de una serie convergente , Cauchy no está hablando de lo que ahora llamamos una secuencia convergente. Más bien, está usando el término en el sentido moderno de una serie convergente, aunque con una noción subyacente diferente de función y continuo.

Esto sugiere que nuestra interpretación de "serie" es la interpretación correcta. Sin embargo, como se señaló anteriormente, no está claro si esta traducción establece el teorema original de 1821 o la aclaración de 1853.