¿Cuál es el efecto de la temperatura en el equilibrio electrostático-gravitacional?

Lo primero que hay que decir es que este sistema es inestable. Aunque las fuerzas gravitacionales y electrostáticas simples pueden equilibrarse, existe un efecto adicional para la interacción eléctrica que no existirá para la gravedad: la carga de cada esfera polariza a la otra. Las distribuciones de carga en cada esfera se ajustan para una energía mínima, y ​​eso conduce a una fuerza de atracción débil pero no 1/r^2. Si algo hace que las esferas se acerquen, aunque sea un poco, con la simple fuerza repulsiva de Coulomb anulada efectivamente por la gravedad atractiva (a cualquier distancia, ya que ambas son 1/r^2), este efecto polarizador conducirá a la atracción. Podríamos tratar de evitar eso ajustando las cargas para obtener un poco más de repulsión, lo suficiente para mantener el equilibrio. Pero el sistema es inestable, como un lápiz en equilibrio sobre su punta, ya que

Tener una temperatura distinta de cero implica fluctuaciones aleatorias. Incluso a temperatura cero, QM dice que habrá fluctuaciones. El efecto neto de las fluctuaciones en todas las ubicaciones en una esfera dará lugar a fluctuaciones aleatorias en el campo eléctrico detectado por la otra esfera, y no tendrás que esperar mucho tiempo para que una pequeña atracción aleatoria comience a juntar las esferas. ¿Se cancelarán las atracciones aleatorias por un número igual de repulsiones aleatorias? Respuesta corta: no. Esto es como la fuerza de Van der Waals entre moléculas.

Hacer que una esfera sea más caliente agregará a su componente de tiempo de energía-momentum, y aumentará el tamaño y el vigor de esas fluctuaciones aleatorias. Eso aumentaría la velocidad a la que las fluctuaciones aleatorias y la polarización inducida hacen su trabajo. Eso, y el aumento de la gravedad, aumentan la atracción.

OTOH, una esfera más caliente emitiría más radiación térmica, lo que alejaría a la otra esfera. ¿Cuánto más caliente? La ley de Stefan-Boltzman dice que podemos obtener mucho por el dinero, por así decirlo. Sin un sistema físico particular para discutir, imagino que un gran aumento en la temperatura conduciría a una repulsión general, y la radiación térmica ganaría a los otros efectos. ¿Pero un pequeño aumento de temperatura? Eso podría requerir un cálculo con números particulares.

La pregunta se refiere a las esferas de metal. Entonces, ¿qué pasaría si las esferas estuvieran hechas de un aislante como la cerámica o el caucho?

(Probablemente dejé estúpidamente algunos efectos físicos adicionales. ¡Adelante, comentaristas!)

El calor no tiene efecto en E&M hasta que se calienta lo suficiente como para modificar la forma de las esferas, o lo suficiente como para que las cargas puedan salir de la esfera. Entonces, antes de que sucedan este tipo de cosas, sí, el aumento de la atracción gravitacional aumentará la atracción.

En cualquier implementación práctica concebible, estos dos efectos ocurrirán mucho, mucho antes de que la fuerza gravitacional cambie lo suficiente como para desequilibrarlos significativamente.

Ejemplo práctico: esferas de 1000 kg, 0,5 m de radio, casi tocándose. La atracción gravitacional es$G(1000)^2/1m^2 = 6.67428 \times 10^{-5}$Newtons, digamos a 300K.

Para calcular el cambio de energía de 1 grado Kelvin, necesitamos conocer la sustancia. Usemos hierro para que un aumento de 1 grado Kelvin (a 25 °C) dé$25.10$Julios por mol. A 55,845 gramos por mol, 1000 kg tienen 17900 moles, por lo que cada grado Kelvin aumenta la energía en unos 45 000 julios. Usando$E=mc^2$entonces$E/c^2=m$esto da un aumento de masa de$5.0\times 10^{-12}$kg, o aproximadamente$5\times 10^{-15}$cambio de masa. Suponiendo que ambas masas se calientan, el cambio de fuerza es el doble, o$1.0\times 10^{-14}$por grado Kelvin.

Las mediciones actuales de la gravedad usando esferas dan la constante gravitacional con una precisión de 4 o 5 dígitos, por ejemplo,$6.693(27)(21)\times 10^{-11}$en una medición reciente . Para obtener un error en el dígito más pequeño (6º) de 6.67428, debe tener un cambio de temperatura de aproximadamente$10^8$grados Kelvin. A esa temperatura , tendrás que incluir efectos de fusión (y plasma).