Interacción paradójica entre una esfera cargada masiva y una carga puntual

Supongamos que tenemos una esfera de radio r y masa m y una partícula de prueba cargada negativamente a una distancia d de su centro, d ≫ r . Si la esfera es eléctricamente neutra, la partícula caerá hacia la esfera debido a la gravedad. A medida que depositamos electrones en la superficie de la esfera, la fuerza de Coulomb vencerá a la gravedad y la partícula de prueba comenzará a acelerarse. Ahora supongamos que seguimos agregando aún más electrones a la esfera. Si tenemos n electrones, la distribución de sus distancias por pares tiene una media proporcional a r , y aquí están norte ( norte − 1 ) / 2 tales pares, por lo que la energía de enlace es de aproximadamente norte 2 / r . Si este término se incluye en la masa-energía total de la esfera, la fuerza gravitatoria sobre la partícula de prueba parecería aumentar cuadráticamente con norte , y por lo tanto eventualmente supera la fuerza de Coulomb que crece linealmente. La partícula se ralentiza, da la vuelta y comienza a caer de nuevo. Esto parece absurdo; ¿Qué tiene de malo este análisis?

¿Puedes aclarar por qué suena absurdo?
Solo porque se supone que los electrones se repelen entre sí y se supone que la gravedad es una fuerza débil. Me pregunto si hay otro argumento que da una respuesta diferente.
Si puede encontrar otro análisis que sea inconsistente con este resultado, entonces probablemente haya una paradoja aquí. Pero realmente no puedo pensar en uno. Muchos resultados en física que se derivan de las matemáticas son considerados absurdos al principio.
Justin, siento que debe estar mal por alguna razón porque aparentemente es imposible de verificar y los resultados son contradictorios. Por ejemplo, tal vez la energía de enlace no afecta la masa gravitacional, o tal vez la energía de enlace total no crece cuadráticamente con la carga en el límite, o tal vez las condiciones iniciales (tanta carga en un lugar) son imposibles de realizar por alguna otra razón. . Pero, ¿cuál es la mejor razón?
¿Está ocurriendo esto en la gravedad newtoniana o en la relatividad general? Si es newtoniano, ¿cómo se suman las cargas a la masa m (no ha asumido ninguna masa para ellas)?
Creo que los otros comentarios tienen razón: este resultado es correcto y en realidad no es paradójico. Pero estoy de acuerdo en que es contrario a la intuición, y creo que es un buen experimento mental.
"Si tenemos n electrones, la distribución de sus distancias por pares tiene una media proporcional a r, y hay n*(n-1)/2 de esos pares, por lo que la energía de enlace es de aproximadamente n^2/r". No entiendo este argumento "por pares", así como la energía "vinculante". ¿Qué está atado?
@Dan ¿Para qué es la recompensa? Si tienes una parábola y una línea, la línea puede estar debajo, luego arriba y luego nuevamente debajo de la parábola. ¿Qué más necesitas?
¿Cómo sigues acumulando electrones en la esfera de todos modos?
Georg, la frase que usé "energía de enlace" puede ser incorrecta, lo que tengo en mente es la energía potencial eléctrica como se define aquí en.wikipedia.org/wiki/…
Disculpe si solo digo lo obvio, pero: ¿le parece menos contradictorio una vez que considera que el requisito norte para el cual la gravedad domina tiende al infinito como GRAMO norte → 0 ?
Si es correcto incluir la energía potencial eléctrica en el término de masa de la fuerza gravitacional, ¿no es también correcto incluir la energía potencial gravitacional (negativa)? Si es así, ¿no significa esto que, por la misma lógica, dos masas puntuales neutras pueden colocarse tan juntas que su masa-energía total sea cero o incluso negativa, causando una fuerza gravitatoria repulsiva en otro objeto distante?
¿Qué significa "energía potencial eléctrica en el término de masa de la fuerza gravitatoria"?

Respuestas (3)

La afirmación de que la atracción gravitatoria finalmente dominará la repulsión de culombio a medida que n aumenta es correcta. Probablemente piense que la masa en reposo de los electrones invocará la atracción gravitacional, pero esa parte es insignificante para las altas densidades de electrones en la esfera. La atracción gravitacional por (la curvatura del espacio-tiempo causada por) la energía de enlace es mucho mayor para las densidades altas.

No sé dónde está el punto de ruptura, pero supongamos que miro más allá de ese límite, es decir, una esfera (o capa) increíblemente densa de electrones. Si lo hago lo suficientemente denso, podría muy bien convertirse en un agujero negro. Tenga en cuenta que este sería un agujero negro extraño, ya que la 'masa' de tal agujero negro consiste casi en su totalidad en la energía de enlace, y no en el resto de masas de los electrones. Desde este punto de vista, podría ser más fácil imaginar que la atracción gravitatoria dominará eventualmente.

Los agujeros negros de una masa determinada tienen una carga máxima, que creo que puede ser mucho menor que la que obtendrías si estuvieran compuestos únicamente de electrones. Nadie ha tenido esto en cuenta hasta ahora.
¿Cómo crece la carga máxima con la masa? ¿Qué sucede si agrego más carga de la permitida? ¿La masa crece al menos en consecuencia? ¿No fija eso la relación mínima de carga eléctrica frente a la masa gravitacional para los sistemas físicos?
@Peter Shor: puede haber varios límites superiores en la carga máxima de un agujero negro. Tomo uno en cuenta (abajo). @lurscher: sí a ambos. Si se agrega carga, la masa crece al menos en consecuencia, y sí, eso fija una densidad de carga máxima. Sospecho que un agujero negro de partículas puras cargadas sin masa tendría exactamente esa densidad. Si agregara más carga, esencialmente agregaría energía de enlace adicional y, como resultado, aumentaría el radio y la masa del agujero negro. Entonces, @Peter nuevamente: por lo tanto, existe una carga máxima dada la masa de un agujero negro. Podría ser incluso más bajo por otras razones, IDK.

La masa gravitacional pasiva del electrón es, por experimento, menos del 9% del valor teórico esperado , como puede ver en mi respuesta a esta pregunta .
El resultado fue tan inesperado que nadie creyó en la corrección del resultado. Creo que la masa gravitacional activa del electrón también será del mismo orden (o cero ).
Una buena teoría podría colapsar debido a un solo experimento.

Estoy muy impresionado: Casi ninguna pregunta no incluye el Agujero Negro en la respuesta. Puede darse el caso de que atraigan votos hacia arriba. En este sitio ya hay 2000 referencias a este término.

Eso es interesante, sin embargo, este experimento mental funciona igual de bien con los protones, porque es la masa gravitacional de la energía potencial eléctrica la que causa el efecto dominante, no la masa gravitacional en reposo.
@Helder: el resultado es tan inesperado que muchos siguen sin creer la exactitud del resultado -1.

Como respuesta de lluvia de ideas, calculemos la energía de enlace de otra manera:

supongamos que tenemos N electrones en la esfera, la energía electrostática para traer un nuevo electrón a la esfera es norte mi / R . Si añadimos un nuevo electrón, sólo el potencial electrostático neto norte mi / R .

el potencial neto de los electrones lejanos es

norte ( mi − metro mi GRAMO ) / R

lo que es realmente cuadrático en norte es la energía requerida para unir N electrones en la esfera, en realidad es

mi / R + 2 mi / R + . . . norte mi / R = norte ( norte − 1 ) mi / 2 R

Esto también contribuye al peso gravitacional, pero habrá una capacidad máxima donde los electrones escaparán de la esfera.

la capacitancia de una esfera viene dada por 4 π ϵ R . Entonces, en este caso, la energía de enlace está limitada por la capacitancia del conductor utilizado para su esfera.

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