¿Curvatura en el espacio de Minkowski? [cerrado]

Últimamente estoy pensando en cómo el principio de equivalencia ha formado GR y cómo puedo representarlo lo más elemental posible en mi cabeza.

Entonces, la idea que tenía Einstein en ese entonces era que, dado un marco inercial asociado con una partícula de prueba en caída libre (la partícula de prueba no experimenta ningún tipo de atracción gravitacional) en un campo gravitatorio homogéneo, podemos hacer un cambio de base a uno no inercial. entonces la partícula experimentará un tirón gravitacional, pero la cosa es que esta partícula de prueba vive en un espacio de Minkowski donde la curvatura es nula debido a que la partícula descrita en el marco no inercial no siente su peso. Además, los símbolos de Christoffel existen en un espacio de Minkowski pero la curvatura es cero, en consecuencia, el campo gravitatorio es ficticio.

Entonces llegamos a la última parte, lo que he entendido y lo que necesitas confirmarme es que cuando activamos un campo gravitatorio real pasamos a un espacio de Riemann y aplicamos el principio de equivalencia donde el espacio-tiempo es localmente como el espacio de Minkowski. .

Editado: el objetivo principal aquí es ver si lo que digo es correcto, por lo que intentaré ser más claro y formal.

Supongamos que una partícula de prueba vive en un espacio de Minkowski ( METRO 4 , η ) donde la curvatura R ρ λ m v = 0 pero la conexión no es necesariamente Γ = 0 , En otras palabras, esta partícula de prueba está en un campo gravitatorio homogéneo (HGF). asignamos a esta partícula un marco inercial ( mi 0 , mi 1 , mi 2 , mi 3 ) este último nos da la ecuación de movimiento

d 2 X m d t 2 = 0
Si pasamos a otro marco no inercial ( mi ′ 0 , mi ′ 1 , mi ′ 2 , mi ′ 3 ) obtenemos
d X ′ m d t + Γ ~   v λ m d X ′ v d t d X ′ λ d t = 0
Dónde Γ ~   v λ m son los símbolos de Christoffel, lo que podemos ver es que en un espacio de Minkowski podemos cambiar de base y encontrar que aparece una conexión que significa que la gravedad está en su lugar (pero en realidad es ficticia) este marco no inercial describe el Movimiento de una partícula en caída libre.

Entonces, lo que podemos ver es que cuando cambiamos las coordenadas en el espacio de Minkowski, encontramos que aparece una conexión pero la curvatura sigue siendo cero. Esto significa que cuando realmente queremos activar la gravedad, es decir, pasar a la relatividad general, necesitamos pasar a una variedad pseudo-Riemanniana. ( METRO , gramo ) con un tensor de curvatura de Riemann distinto de cero.

No estoy seguro de lo que realmente estás preguntando aquí. En particular, no sé qué quiere decir con que la curvatura es nula debido al hecho de que la partícula descrita [...] no siente su peso , ni entiendo realmente el último párrafo (aunque GR considera el espacio-tiempo como un lorentziano , no riemanniano, múltiple).
El punto de GR es no requerir que el espacio-tiempo sea MIrkowski, solo tener su + − − − (o − + + + , dependiendo de su convención) firma. Las opciones más generales tienen curvatura que nos dan gravedad.
Voy a votar para cerrar porque esto no parece ser una pregunta.
@PaulT. es una observación principalmente y la pregunta es: Dime si estoy bien o mal al pensar todo eso. lo he dicho en el ultimo parrafo
@JG oh sí, pero en mi publicación no se trata realmente de la relatividad general, se trata de la experiencia de Einstein y el espacio de Minkowski con un campo gravitatorio ficticio expresado por los símbolos de Christoffel y una curvatura R = 0 cuando pasamos a un marco no inercial.
@intelligibleno En ese caso, la siguiente observación puede ayudar: mientras que el escalar de Ricci R puede ser 0 para algunos espaciotiempos curvos, el tensor de Riemann R m v ρ σ tiene todos los componentes 0 en todos o ningún sistema de coordenadas. Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild tiene R = 0 pero el tensor de Riemann no desaparece.
@JG gracias por esta observación, que ya encontré en una conferencia. oh por R = 0 No me refiero al escalar de Ricci sino al de Riemann.
@intelligibleno Entonces su propuesta no funciona: si el tensor de Riemann desapareciera, no observaríamos evidencia de que no es cero, como la gravitación similar a la de Schwarzschild.
@JG Puedo argumentar diciendo que cuando consideramos el espacio de Minkowski y la ecuación de movimiento en un marco no inercial como se citó anteriormente, podemos ver claramente que un marco no inercial da lugar a un campo gravitacional ficticio que podemos representar por Γ .
@intelligibleno Sospecho que está combinando "Puedo convertir esto en eso en un parche local con una transformación de coordenadas específica del parche adecuada" con "Puedo convertir esto en eso globalmente con el resultado de una transformación de coordenadas".
Permítame sugerirle una edición a su penúltimo párrafo (el que está inmediatamente antes de "¿Es bueno mi razonamiento?"), y dígame si está de acuerdo con mi edición. Mis cambios están en negrita. "Entonces, lo que podemos ver es que cuando cambiamos las coordenadas en el espacio-tiempo de Minkowski , encontramos que aparece una conexión, pero la curvatura sigue siendo cero. Esto significa que cuando realmente queremos activar la gravedad, es decir, pasar a la relatividad general, necesitamos pasar a una variedad". ( METRO , gramo ) con un tensor de curvatura de Riemann distinto de cero .
@Andrew, sí, por qué no, es más o menos la misma idea pero un poco más clara.
Bueno... no es lo mismo. "Marco" vs "coordenada" es básicamente una preferencia. Pero una "variedad de Lorentz" es aquella en la que la métrica tiene valores propios − 1 , 1 , 1 , 1 (o 1 , − 1 , − 1 , − 1 si usa las convenciones incorrectas :)), y en particular los espaciotiempos con una curvatura de Riemann distinta de cero todavía son variedades de Lorentzian. También una "variedad de Riemann" tiene una métrica con valores propios + 1 , + 1 , + 1 , + 1 , por lo que ningún espacio-tiempo es una variedad de Riemann, ni siquiera el espacio de Minkowski. Estoy de acuerdo con su declaración si quiere decir algo equivalente a mi edición, pero creo que los comentarios que recibió se debieron a un uso impreciso del lenguaje.
@Andrew Oh, sí, debería usar una variedad pseudo-Riemanniana en lugar de una "variedad Riemanniana", tiene toda la razón y para la variedad Lorentziana tiene un buen punto. Estaba confundiendo una variedad Lorentziana con el espacio de Minkowski, gracias por eso.

Respuestas (1)

Me parece que tienes mayormente razón en tu forma de pensar. Sin embargo, parece que está (al menos en parte) asociando la gravedad con símbolos de Christoffel que no desaparecen, lo que puede valer la pena comentar.

La gravedad está asociada con la curvatura del espacio-tiempo, y dado que el espacio-tiempo se curva según su contenido de energía, a veces decimos que en el espacio-tiempo vacío (es decir, Minkowski) no hay gravedad.

Ahora, gran parte del marco matemático de la geometría diferencial generalmente se asocia con la relatividad general (en lugar de la relatividad especial). Sin embargo, cosas como los símbolos de Christoffel, las ecuaciones geodésicas, las derivadas covariantes en realidad no son específicas de GR, también pueden aparecer en SR. Lo nuevo en GR es el tensor de curvatura que no desaparece (que en SR siempre es cero).

La razón por la que las personas generalmente aprenden sobre cosas como los símbolos de Christoffel o las derivadas covariantes solo cuando estudian GR es porque puede hacer todo SR en coordenadas inerciales donde los coeficientes de conexión desaparecen y las derivadas covariantes son las derivadas parciales habituales. Pero si tuviera que estudiar SR en sistemas de coordenadas arbitrarias, encontraría todos estos objetos (excepto el tensor de curvatura) mientras sigue haciendo SR.

En resumen, el punto es que la forma en que se piensa este material suele ser la siguiente: relatividad especial en coordenadas inerciales (en la que nunca se encuentran los símbolos de Christoffel o derivadas covariantes) luego la relatividad general (donde uno se encuentra con los símbolos de Christoffel, derivadas covariantes, tensor de curvatura, etc.). Esta forma de enseñanza puede hacer pensar que todos estos objetos son específicos de GR (y por lo tanto hacer que los asocien con la gravedad).

Sin embargo, uno también puede aprender este material de la siguiente manera: relatividad especial en coordenadas inerciales, luego relatividad especial en coordenadas arbitrarias (donde uno encuentra cosas como símbolos de Christoffel y derivadas covariantes), luego relatividad general (donde aparece el tensor de curvatura). Esto aclara que solo el tensor de curvatura es específico de GR, no los símbolos de Christoffel y las derivadas covariantes.

Algo bueno de ver esto es escribir una métrica plana de Minkowski, por ejemplo, en coordenadas esféricas. Entonces se pueden calcular fácilmente los símbolos de Christoffel que no desaparecen. El tensor de curvatura, sin embargo, desaparece. Los símbolos de Christoffel contienen información sobre la curvatura y las coordenadas curvilíneas. Combinándolos en el tensor de curvatura aísla al primero.
Sigo totalmente su punto y quiero hacer un comentario: Llamé a los símbolos de Christoffel un campo gravitatorio ficticio por el hecho de que estamos en un marco de referencia no inercial y el movimiento será descrito en la mecánica newtoniana por una fuerza ficticia.
Sí, me di cuenta de que esto es lo que estabas diciendo. Sin embargo, traté de evitar llamar a los símbolos de Christoffel un campo gravitatorio ficticio porque no estoy seguro de que esta sea la terminología estándar.
¿Curvatura en el espacio de Minkowski? [cerrado]
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