Cómo la longitud de onda de un fotón se ve afectada por un campo gravitacional uniforme

Question

Cómo la longitud de onda de un fotón se ve afectada por un campo gravitacional uniforme

gravedad
Física
sistemas coordinados
relatividad general
principio de equivalencia
corrimiento al rojo gravitacional

genio

En presencia de un campo gravitatorio uniforme, dos observadores en posiciones fijas obtienen diferentes medidas de frecuencia del mismo fotón. Un observador en el origen de alguna medida del sistema de coordenadas $\nu_1$ y uno en posición fija $x$ en la misma medida del gráfico de coordenadas $\nu_2$ . la relacion es

\begin{matrix} (1) & v_{2} = v_{1} (1 + \frac{ϕ}{C^{2}}) \end{matrix}

$\nu_2 = \nu_1 \left( 1 + \frac{\phi}{c^2} \right) \tag1$

Donde la diferencia de potencial es $\phi \le 0$ , tal que $\nu_2 \le \nu_1$ . Sin embargo, en el artículo de Einstein de 1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz" , hay una fórmula para la velocidad de la luz que obtiene cada observador. Si el observador que mide $\nu_1$ tambien medidas $c_0$ y el observador que mide $\nu_2$ tambien medidas $c$ tenemos la formula

C = C_{0} (1 + \frac{ϕ}{C^{2}})

$c = c_0 \left( 1 + \frac{\phi}{c^2}\right)$ .

Mi punto es: ¿cómo debería cambiar la longitud de onda del fotón entre estos observadores? Comparando las dos fórmulas, intento pensar que los observadores están de acuerdo con la medida de la longitud de onda, pero dado que la frecuencia cambia, la longitud de onda también debería ser diferente para cada medida. ¿Dónde está mi error?

ana v

Es bueno tener siempre presente que la luz emerge del nivel mecánico cuántico de los fotones, pero los fotones no son luz. Tienen energía h*nu, donde nu es la frecuencia de la luz emergente de muchos fotones, pero los fotones no tienen longitud de onda, son partículas puntuales en.wikipedia.org/wiki/Elementary_particle

genio

@annav muchas gracias, estos comentarios me ayudaron mucho. Sin embargo, si cambio "fotón" a "un haz de luz" en mi pregunta, ¿seguiría este problema?

ana v

lo haría consistente con la respuesta y con el hecho de que pide medir longitudes de onda.

pedro bernardo

¿No pregunta si la fuerza gravitacional actúa de manera diferente en diferentes longitudes de onda (por lo tanto, energías) de fotones? Como se entiende esto?

Respuestas (2)

Cómo la longitud de onda de un fotón se ve afectada por un campo gravitacional uniforme

Es bueno tener siempre presente que la luz emerge del nivel mecánico cuántico de los fotones, pero los fotones no son luz. Tienen energía h*nu, donde nu es la frecuencia de la luz emergente de muchos fotones, pero los fotones no tienen longitud de onda, son partículas puntuales en.wikipedia.org/wiki/Elementary_particle
@annav muchas gracias, estos comentarios me ayudaron mucho. Sin embargo, si cambio "fotón" a "un haz de luz" en mi pregunta, ¿seguiría este problema?
lo haría consistente con la respuesta y con el hecho de que pide medir longitudes de onda.
¿No pregunta si la fuerza gravitacional actúa de manera diferente en diferentes longitudes de onda (por lo tanto, energías) de fotones? Como se entiende esto?

mike piedra · Answer 1

¿Por qué está leyendo y tomando en serio un artículo de 1911? Einstein aún no había entendido la interacción entre la gravedad y el tiempo.

Ahora se sabe que la fórmula que cita para la velocidad de la luz es la velocidad en coordenadas de tiempo . La velocidad real de la luz medida por un reloj es $c$ para todos los observadores en todas partes. La relación $\lambda \nu=c$ es válido para todos los observadores, por lo que una reducción de la frecuencia va acompañada de un aumento de la longitud de onda.

Entonces, la "transformación" de la longitud de onda debe ser consistente solo con la ecuación. (1) y no con la ecuación de la velocidad de la luz?
Debe ignorar la engañosa (es decir, incorrecta) "ecuación de la velocidad de la luz".

KP99 · Answer 2

Considere un enfoque diferente, comience con la ecuación geodésica para los rayos de luz:

{PAG}^{v} \nabla_{v} {PAG}^{m} = \frac{d {PAG}^{m}}{d τ} + Γ_{ρ v}^{m} {PAG}^{ρ} {PAG}^{v} = 0

$P^{\nu}\nabla_{\nu}P^{\mu}=\frac{dP^{\mu}}{d\tau}+\Gamma^{\mu}_{\rho\nu}P^{\rho}P^{\nu}=0$ dónde

P^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d τ} = (E, p, 0, 0)

$P^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=(E,p,0,0)$ (digamos) es el 4-momento del fotón con

E = p

$E=p$ . Ahora usa la relación de De-Broglie

pag = \frac{h}{λ}

$p=\frac{h}{\lambda}$ y sustituya esto en la ecuación anterior para obtener la evolución de la longitud de onda

λ

$\lambda$ entre dos puntos de una geodésica dada (Al resolver esta ecuación, se puede obtener

λ = λ (τ)

$\lambda=\lambda(\tau)$ ,

τ

$\tau$ siendo el parámetro afín en la geodésica nula). A veces, el espacio-tiempo puede admitir campos de vectores asesinos

K^{μ}

$K^{\mu}$ , correspondiente a la cual tenemos las cantidades

Q_{K} = K^{μ} P_{μ}

$Q_K=K^{\mu}P_{\mu}$ conservada a lo largo de las geodésicas nulas (

P^{μ} \nabla_{μ} Q = 0

$P^{\mu}\nabla_{\mu}Q=0$ ). Estas cantidades conservadas pueden simplificar la expresión para

λ = λ (τ)

$\lambda=\lambda(\tau)$

En general, dado un vector de 4 impulsos $P^{\mu}\sim (\omega, \textbf{k})$ , el número de onda neto medido por el observador (con un campo de velocidad $U^{\mu}$ ) es $|k|^2=\frac{1}{\lambda^2}\sim -h_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}$ , dónde $h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-U_{\mu}U_{\nu}$ es la métrica inducida en la superficie tridimensional ortogonal a $U^{\mu}$ .

Podemos suponer que el campo de velocidad del observador es geodésico y afín a algún parámetro $\sigma$ . Para un campo gravitacional constante, puedes construir una métrica aproximada $g_{\mu\nu}$ tal que satisface (en el límite no relativista):

{\ddot{X}}^{i} = \frac{d {tu}^{i}}{d σ} \approx - Γ_{00}^{i} ({tu}^{0})^{2} = {gramo}^{i}

$\ddot{x}^i=\frac{dU^i}{d\sigma}\approx-\Gamma^{i}_{00}(U^0)^2=g^i$ i=1,2,3 y

g^{i}

$g^i$ son los componentes del campo gravitatorio constante.

¿La luz es desviada, desviada por la fuerza gravitacional dependiendo de su longitud de onda? ¿La luz azul es desviada por la tierra en un ángulo diferente? (como en la dispersión de Rayleigh)
@PeterBernhard En principio, sí. Necesitamos proporcionar los datos iniciales. $P^a_0\sim (\omega, k^i)$ en algún momento $\tau=\tau_0$ y dejar que evolucione siguiendo la ecuación geodésica. Si el problema está bien planteado, diferentes datos iniciales corresponderán a diferentes geodésicas.

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