¿Por qué la luz no puede escapar de un agujero negro clásico?

Los agujeros negros afectan la estructura causal del espacio-tiempo de tal manera que todos los futuros conos de luz dentro de un agujero negro se encuentran dentro del horizonte de eventos del mismo.

Aunque los fotones no tienen masa, tienen energía y deben obedecer la geometría de un espacio-tiempo curvo. Dado que todo el futuro se encuentra dentro del horizonte de eventos, los fotones quedan atrapados dentro del agujero negro.

Aunque los fotones no tienen masa, todavía se ven afectados por la gravedad. Así es como podemos ver los agujeros negros, por la forma en que distorsionan la luz que pasa cerca de ellos.

La razón por la que nada puede escapar de un agujero negro es porque dentro del horizonte de sucesos, el espacio se curva hasta el punto en que todas las direcciones apuntan hacia el interior .

La velocidad de escape desde el interior del horizonte de eventos de un agujero negro es más rápida que la velocidad de la luz , por lo tanto, la luz no puede ir a esa velocidad y, por lo tanto, no puede escapar.

Una cuenta "desde cero".

Intervalos y conos de luz

Un "evento" en relatividad se define como algo con un conjunto de coordenadas en un espacio-tiempo de 4 dimensiones. Los eventos están separados por un intervalo, que en un espacio-tiempo plano, podría escribirse como

El intervalo de un haz de luz es siempre cero. Eso significa, por ejemplo, si enviamos un haz de luz a lo largo del eje x, donde$dy=dz=0$, después$cdt/dx = \pm 1$. Por lo tanto, si dibujamos un gráfico de$x$contra$ct$(en el eje y) entonces la luz viajaría a lo largo de caminos con un gradiente de$\pm 45$grados desde su punto de partida. Dado que la luz es la señal más rápida que puede enviar (mucho más rápido que una paloma mensajera), estas líneas unirán todos los posibles eventos en el futuro en los que podría influir. También contienen las coordenadas de todos los posibles eventos en los que podrías estar en el futuro, sin importar qué tan rápido viajaras. Esto se conoce como el futuro cono de luz.

Un cono similar se puede extender hacia atrás en el tiempo para delimitar el conjunto de coordenadas desde las que un haz de luz (o algo más lento) podría haberte alcanzado; y esto se conoce como el cono de luz pasado.

La siguiente imagen ilustra estas ideas. Hay un evento en A, con eventos BG trazados en el mismo diagrama. Los conos de luz del futuro y del pasado están etiquetados. Los eventos E, F y G están en el cono de luz futuro de A. Los eventos B, C y D están en el cono de luz pasado de A.

Si el intervalo$ds^2$entre dos eventos es negativa, entonces estos eventos podrían estar conectados causalmente, porque uno se encuentra en el futuro cono de luz del otro. Esto se conoce como un intervalo temporal. Si el intervalo es positivo, se llama espacial y los dos eventos no pueden estar causalmente conectados. Es decir, algo en el evento A puede influir, señalar o incluso viajar al evento E, pero no puede influir ni viajar al evento B, ni a ninguno de los eventos no etiquetados marcados con cuadrados en la región "otra parte", porque no están dentro de la región. futuro cono de luz de A.

Intervalos y Conos de Luz en Relatividad General

Estas ideas se traducen a la Relatividad General donde el espacio-tiempo se puede curvar. Eso significa que el estado del intervalo como invariante es el mismo, pero la expresión del intervalo es más complicada: los coeficientes se multiplican$dt^2$etc puede depender de$t, x, y, z$o, de hecho, otros parámetros como la masa o el giro de un objeto central.

Sin embargo, la complejidad de la ecuación del intervalo significa que la pendiente de los conos de luz puede variar dependiendo de la posición del evento que los origina. A primera vista, esto parece estar diciendo que la velocidad de la luz puede diferir de$c$. Bueno, eso es cierto en el sentido de que la velocidad de la luz expresada como una tasa de cambio con respecto a las coordenadas espaciales y temporales que se utilizan sí cambia. Pero esta velocidad no es la velocidad que mediría un observador local al haz de luz. Siempre dirían que viaja a$c$.

Coordenadas

En la relatividad general, el sistema de coordenadas en el que expresas la ecuación de intervalo puede convertirse en un problema y hace que los nuevos en GR se metan en muchos problemas. En situaciones no relativistas, estamos bastante acostumbrados a cambiar entre, por ejemplo, coordenadas cartesianas y polares esféricas para describir la ubicación de un objeto. Si estuviéramos midiendo la distancia entre dos puntos en la superficie de una esfera, podríamos decir que$dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$, pero podríamos igualmente y quizás más útilmente usar$dl^2 = r^2\sin^2\theta\ d\theta^2 + r^2d\phi^2$. Es importante destacar que la elección de las coordenadas no afecta lo que alguien realmente mediría. Lo mismo es cierto en la Relatividad General.

Para agujeros negros que no giran, la ecuación de intervalo se puede escribir como

los$t, r, \theta, \phi$las coordenadas aquí son similares a las coordenadas esféricas, pero no del todo. Por ejemplo, debido a la curvatura del espacio-tiempo,$r$no es el "radio" y$\Delta r$no es la separación de dos eventos al mismo tiempo$t, \theta, \phi$. Estas coordenadas no son adecuadas para manejar el movimiento a través o dentro del horizonte de eventos donde$r = 2GM/c^2$. A este valor de$r$, puedes ver que el segundo término en la ecuación de intervalo se expande hasta el infinito. Esto tiene un significado. Significa que alguien que realiza un seguimiento de los eventos usando este sistema de coordenadas nunca vería un objeto alcanzar (o cruzar) el horizonte de eventos en cualquier tiempo finito.$t$.

Esto no significa que las cosas no puedan cruzar el horizonte de sucesos. Según un observador que cae, midiendo el tiempo en su propio reloj (que no es igual a$t$), cruzan el horizonte de sucesos y caen hacia$r=0$en un tiempo finito. Para manejar esto, podemos definir un sistema de coordenadas diferente (y hay varios para elegir), que son continuos en el horizonte de eventos. Quizás el más simple es el sistema de coordenadas Gullstrand-Painlev , donde la coordenada temporal$t$es reemplazada por una nueva coordenada$T$que se define como$t - a(r)$, dónde$a(r)$se define de modo que un incremento de$T$es exactamente lo mismo que un tictac del reloj llevado por un observador que cae libremente en el agujero negro. Esto elimina el problema de coordenadas en el horizonte de eventos y la ecuación de intervalo se escribe

Conos de luz dentro del horizonte de eventos del agujero negro

Configurando$ds^2$a cero, y por simplicidad considerando caminos radiales donde$d\theta=d\phi=0$, es fácil ver que los conos de luz están definidos por la ecuación

Los conos de luz correspondientes a esta ecuación se representan a continuación (Figura adaptada de Exploring Black Holes de Taylor, Wheeler & Bertschinger), donde$r_s = 2GM/c^2$, el horizonte de sucesos (donde$r=r_s$está marcado con una línea roja y los conos de luz de futuro y pasado están marcados con una F y una P y se calculan de acuerdo con la ecuación para$cdT/dr$dado anteriormente.

El punto clave en este diagrama, que responde a la pregunta planteada aquí, es que en$r=r_s$, los conos de luz están definidos por

Lo que esto significa es una vez en$r<r_s$dentro del horizonte de eventos, los conos de luz se inclinan hacia la disminución$r$y todos los eventos futuros dentro de los conos de luz futuros tienen valores más pequeños de$r$. Por lo tanto, ninguna señal emitida desde el interior del horizonte de sucesos puede enviarse nunca a$r$e incluso un haz de luz que se dirige hacia el exterior se moverá de hecho hacia un valor menor de$r$. Por eso se llama horizonte de sucesos.

La gravedad es la fuerza que dobla la estructura misma del espacio-tiempo. Durante el eclipse, los científicos han visto cómo la luz de estrellas distantes que están cerca del Sol cambia su trayectoria. Entonces prueba que la luz es afectada por la Gravedad. Ahora que sabes que la luz se ve afectada por la gravedad, también debes saber que la fuerza gravitatoria de un Agujero Negro es inmensa. Como cualquier cosa en la tierra necesita tener una velocidad mínima para vencer la atracción gravitatoria de la Tierra (que se llama velocidad de escape) es algo que el Hombre ha podido lograr, así nuestras naves y cohetes espaciales llegan al Espacio. Pero la velocidad de escape requerida para superar la atracción gravitatoria de un agujero negro es mayor que la velocidad de la Luz. Y como sabemos que nada viaja más rápido que la luz, Black Hole se traga cualquier cosa y todo lo que se le acerca, incluyendoluz _

Aquí hay una explicación diferente.

Debido al principio de igualdad, pararse en la superficie de un planeta y acelerar es igual.

Lejos de los cuerpos masivos, la aceleración adecuada fija conduce a una trayectoria hiperbólica en el diagrama de espacio-tiempo. La asíntota de esta hipérbola es diagonal (se acerca a la velocidad de la luz).

Si imaginas esta hipérbola, puedes ver que si disparas un rayo de luz hacia el objeto que acelera más allá de cierta distancia, nunca lo alcanzará. Este es el horizonte de Rindler , más allá de él no te llega ninguna luz. Si aceleras con$a$el horizonte de Rindler está en$c^2/a$detrás de ti.

El horizonte de sucesos del agujero negro es análogo a esto. Si se desplaza sobre un agujero negro, se encuentra en un marco de referencia acelerado, por lo que el horizonte de Rindler existe en el horizonte de eventos (usando la métrica de schwarzschild).

Rindler-horizon desaparece si el observador deja de acelerar. El observador cerca de un agujero negro detiene la aceleración si comienza una caída libre hacia el agujero negro, su movimiento se vuelve inercial por lo que el horizonte de eventos también debería desaparecer. Pero como la gravedad no es uniforme, el horizonte de sucesos no desaparecerá, sino que permanecerá bajo el observador a medida que cae.

La declaración anterior sobre un fotón que no tiene masa de "reposo" es en realidad bastante contraria a la realidad. A medida que un objeto se acerca a la velocidad C, su masa se vuelve relativamente más y más pequeña, hasta que alcanza la velocidad asintótica de la luz y se vuelve virtualmente sin masa, sin tiempo y sin espacio. Cuanta más energía tiene el fotón, menor es la longitud de onda, mayor la frecuencia y mayor la masa en reposo. Esta ecuación puede estar dada por mv=hf/c. Técnicamente, usted mismo (y todo este planeta) se parece a un grupo de fotones en algún marco de referencia (por ejemplo, una galaxia que va en dirección opuesta a la nuestra a una velocidad muy alta). Creo que la gravedad afecta a los fotones porque si bien no tienen masa (por definición, cuando se mueve a la velocidad de la luz no tiene masa) es porque, incluso sin masa, son un haz fotónico de energía.