Correlaciones de densidad de densidad de una partícula browniana simple [cerrado]

¡Bienvenido a Física StackExchange! Esta pregunta puede estar relacionada con el cálculo de correlaciones de densidad dinámica en líquidos, en el límite de difusión. Debido a esto, y a la familiaridad de los resultados en esa aplicación física, incluiré explícitamente el coeficiente de difusión.$D$en el lado derecho de la ecuación de la dinámica browniana (ecuación de Langevin sin inercia) y escribir

$$\langle \eta(t)\eta(t') \rangle = 2D\,\delta(t-t')$$ pero obviamente el resultado de su ecuación se derivará de establecer $D=\frac{1}{2}$. También es estándar suponer que $\langle \eta(t)\rangle=0$y eso $\eta(t)$es un proceso aleatorio gaussiano , por lo que todos sus momentos superiores están determinados por los dos primeros: no lo dice explícitamente, pero supongo que es cierto.

La integración directa de la ecuación da los resultados habituales.$\langle \Delta X\rangle = 0$y$\langle \Delta X^2\rangle = 2D |t-t'|$, dónde$\Delta X=X(t)-X(t')$.

Su interés radica en la función de correlación densidad-densidad

$$G(x,t,x',t') = G(x-x',t-t') = \left\langle \rho(x,t) \, \rho(x',t') \right\rangle$$ dónde $\rho(x,t)=\delta(x-X(t))$. He incorporado aquí el hecho de que el sistema es invariante traslacionalmente en las coordenadas de espacio y tiempo. Esto a su vez significa que la función de correlación temporal de la densidad transformada de Fourier $$\tilde{\rho}(k,t)= \int \rho(x,t) \exp(-ikx) dx =\exp [-ikX(t)]$$ que escribimos $$F(k,t-t') = \left\langle \tilde{\rho}(k,t) \tilde{\rho}(-k,t') \right\rangle$$ es en sí misma la transformada de Fourier de $G$: $$F(k,t) = \int G(x,t) \exp(-ikx) dx$$ Se pueden encontrar más detalles sobre este tipo de manipulaciones, por ejemplo, en Theory of Simple Liquids de JP Hansen e IR McDonald. En nuestro caso, a partir de la definición de $\tilde{\rho}(k,t)$, $$F(k,t-t') = \left\langle \exp [-ik\{X(t)-X(t')\}] \right\rangle = \left\langle \exp [-ik \Delta X] \right\rangle$$ Ahora usamos la naturaleza gaussiana del término aleatorio $\eta$, lo que implica que $\Delta X$también se distribuye como gaussiana y satisface la identidad $$\left\langle \exp [-ik \Delta X] \right\rangle = \exp \left(-\frac{1}{2}k^2 \langle \Delta X^2\rangle \right) = \exp \left(-Dk^2 |t-t'| \right)$$ Esta es una forma difusional familiar, una función gaussiana de $k$, y podemos deducir inmediatamente la forma de $G$, que es una Gaussiana en $x$: $$G(x-x',t-t') = \frac{1}{\sqrt{4\pi D\,|t-t'|}} \exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4D\,|t-t'|}\right)$$ Es posible que deba verificar en caso de que haya cometido algún desliz en el camino.

Este problema también puede abordarse interpretando la función de correlación densidad-densidad en el sentido de una probabilidad condicional que satisface la ecuación diferencial parcial correspondiente a la ecuación original tipo Langevin. Esa PDE es, por supuesto, la ecuación de difusión, y$G$es la solución que obtienes cuando configuras la distribución de probabilidad inicial como una función delta, en otras palabras, es el propagador. Pero me he acercado deliberadamente a esto como un problema que involucra variables dinámicas basadas en$X(t)$, porque eso parecía coincidir con la forma en que está formulada la pregunta.