Cambio fraccional de densidad

Tu análisis no está mal. Tenga en cuenta que la definición general del coeficiente de expansión es$\beta \equiv \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$; así que cuando lo escribes como$\beta \simeq \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$, estás asumiendo implícitamente que la variación de temperatura$\Delta T$, y por lo tanto$\Delta V/V$es pequeño${}^*$.

Con eso en mente, usando$\Delta V = \beta V \Delta T$, tu ecuación final se puede reescribir como:

$$\frac{\Delta \rho}{\rho_0} = - \frac{\beta \Delta T}{1+\Delta{V}/V}$$ Como se mencionó anteriormente, el cambio de volumen debido a la expansión es mucho menor que el volumen inicial del objeto, por lo que$\Delta V/V << 1$, lo que significa que puedes descuidar$\Delta V/V$en el denominador en comparación con$1$; Resultando en: $$\frac{\Delta \rho}{\rho}\simeq-\beta \Delta T$$

* Para ser más precisos, a partir de la definición de$\beta$tenemos:

$$\frac {dV}{V}=\beta dT$$ entonces: $$\int_{V_1}^{V_2}\frac {dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\beta dT$$ Ahora bien, siempre que la variación de temperatura$\Delta T = T_2 - T_1$es lo suficientemente pequeño para que podamos despreciar las variaciones de$\beta$en el$[T_1,T_2]$intervalo,$\beta$(y$V$) se puede sacar aproximadamente de la integral, dando como resultado: $$\frac{\Delta V}{V} \simeq \beta \Delta T$$ cual es la fórmula que estabas usando.

Tenga en cuenta que también puede reorganizar la definición de$\beta$en cuanto a la densidad$\rho=\frac m V$para obtener esa aproximación:

$$\beta \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \frac{1}{m / \rho}\left(\frac{\partial (\frac {m}{\rho})}{\partial T}\right)_{p} = \frac {\rho}{m}\left(-\frac{m}{\rho^2}\right)\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p}=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p}$$

Entonces

$$\beta \simeq-\frac{1}{\rho} \frac{\Delta \rho}{\Delta T} \implies \frac{\Delta\rho}{\rho}=-\beta\,\Delta{T}$$