Cálculo de raíces cuadradas a 1 decimal

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Cálculo de raíces cuadradas a 1 decimal

radicales
Matemáticas
prueba-explicación

Jorge

Raíces cuadradas a 1 dp

Hola, soy un profesor en prácticas con experiencia en ingeniería. Como parte del plan de estudios de matemáticas del GCSE del Reino Unido, se espera que los estudiantes calculen, sin calculadora, la raíz cuadrada de un número hasta 1 dp. El método esperado se muestra a continuación, con el ejemplo de

F i norte d \sqrt{32} t o 1 d . pag .

$Find\;\sqrt{32}\;to\;1\;d.p.$

\sqrt{25} < \sqrt{32} < \sqrt{36} 5 < \sqrt{32} < 6 Intentar {5.6}^{2} = 31.36 ∴ 5.6 < \sqrt{32} < 6 Intentar {5.7}^{2} = 32.49 ∴ 5.6 < \sqrt{32} < 5.7 Considere el punto medio; {5.65}^{2} = 31.9225 ∴ 5.65 < \sqrt{32} < 5.7 ∴ \sqrt{32} = 5.7 a 1 pd

$\sqrt{25}<\sqrt{32}<\sqrt{36} \\ 5<\sqrt{32}<6 \\ \text {Try}\;5.6^2 = 31.36 \\ \therefore\;5.6<\sqrt{32}<6 \\ \text {Try}\;5.7^2 = 32.49\\ \therefore 5.6<\sqrt{32}<5.7\\ \text {Consider midpoint};5.65^2=31.9225\\ \therefore\;5.65<\sqrt{32}<5.7\\ \therefore\sqrt{32}=5.7\;\text {to 1 d.p.}$

El último paso son las secciones que me desconciertan, si podemos ver que 32,49 está más cerca de 32 que de 31,36, ¿no podemos decir que nuestra respuesta es 5,7 sin tener que crear una desigualdad? Mi mentor ha dicho que se debe a que x^2 no es lineal, por lo que aunque 5 está a medio camino entre 1 y 9, la raíz cuadrada de 5 no está a medio camino entre las raíces cuadradas de 1 y 9, lo cual entiendo. Pero esto no es lo mismo que los problemas, porque dirías

\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} 2 < \sqrt{5} < 3 como 4 está más cerca de 5 entonces \sqrt{5} está más cerca de \sqrt{4} = 2 \sqrt{5} = 2.2360... entonces lo anterior es cierto.

$\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}\\ 2<\sqrt{5}<3\\ \text {as 4 is closer to 5 then } \sqrt{5} \text { is closer to }\sqrt{4}=2\\ \sqrt{5}=2.2360...\\ \text {so the above is true.}$

Estoy luchando por ver esto en contexto en cuanto a por qué no es cierto, pero no puedo entenderlo.

Respuestas (4)

Cálculo de raíces cuadradas a 1 decimal

david k · Answer 1

Prueba este problema: Encuentra $\sqrt{31.924}$ a un decimal.

\sqrt{25} < \sqrt{31.924} < \sqrt{36} 5 < \sqrt{31.924} < 6 Intentar {5.6}^{2} = 31.36 5.6 < \sqrt{31.924} < 6 Intentar {5.7}^{2} = 32.49 5.6 < \sqrt{31.924} < 5.7

$\sqrt{25} < \sqrt{31.924} < \sqrt{36} \\ 5 < \sqrt{31.924} < 6 \\ \text{Try } 5.6^2 = 31.36 \\ 5.6 < \sqrt{31.924} < 6 \\ \text{Try } 5.7^2 = 32.49\\ 5.6 < \sqrt{31.924} < 5.7$

Y ahora observamos que $31.924 - 31.36 = 0.564$ mientras $32.49 - 31.924 = 0.566$ . Por lo tanto $31.924$ está más cerca de $5.6^2$ que a $5.7^2$ . Pero $\sqrt{31.924} \approx 5.65013$ redondeado a un decimal es $5.7.$

Sin embargo, aquí hay un giro interesante: al trabajar con números decimales, el número de entrada $x$ (del que está sacando una raíz cuadrada) debe tener al menos tres lugares decimales para establecer un ejemplo en el que $x$ está más cerca de $a^2$ que a $b^2$ (dónde $a$ y $b$ son dos números consecutivos de un dígito decimal) y sin embargo $\sqrt{x}$ está más cerca de $b$ que a $a.$

Dejar $a = n/10,$ dónde $n$ es un entero, y sea $b = a + 0.1 = (n+1)/10.$ Entonces $a^2 = n^2/100$ y

b^{2} = \frac{(norte + 1)^{2}}{100} = a^{2} + \frac{2 norte + 1}{100} .

$b^2 = \frac{(n+1)^2}{100} = a^2 + \frac{2n+1}{100}.$ Considere todos los números decimales de dos lugares entre

a^{2}

$a^2$ y

b^{2}

$b^2$ ; todos esos números hasta

a^{2} + \frac{n}{100}

$a^2 + \frac{n}{100}$ están más cerca de

a^{2},

$a^2,$ y todos esos números de

a^{2} + \frac{n + 1}{100}

$a^2 + \frac{n+1}{100}$ hacia arriba están más cerca de

b^{2} .

$b^2.$ Pero también

(a + 0.05)^{2} = \frac{{(norte + \frac{1}{2})}^{2}}{100} = \frac{{norte}^{2} + norte + \frac{1}{4}}{100} = a^{2} + \frac{norte + \frac{1}{4}}{100} .

$(a + 0.05)^2 = \frac{\left(n+ \frac12\right)^2}{100} = \frac{n^2 + n + \frac14}{100} = a^2 + \frac{n + \frac14}{100}.$ Así que las raíces cuadradas de todos los números de

a^{2}

$a^2$ a

a^{2} + \frac{n}{100}

$a^2 + \frac{n}{100}$ están más cerca de

a

$a$ que a

b

$b$ y las raíces cuadradas de todos los números de

a^{2} + \frac{n + 1}{100}

$a^2 + \frac{n+1}{100}$ a

b^{2}

$b^2$ están más cerca de

b

$b$ que a

a .

$a.$ El único caso en el que es incorrecto usar el método del "cuadrado más cercano" para decidir de qué manera redondear

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ es cuando

a^{2} + \frac{norte + \frac{1}{4}}{100} \leq X < a^{2} + \frac{norte + \frac{1}{2}}{100} .

$a^2 + \frac{n + \frac14}{100} \leq x < a^2 + \frac{n + \frac12}{100}.$ Y se necesitan al menos tres lugares decimales para escribir tal número

x

$x$ en notación decimal.

Esto es genial, David, el gran problema que tuve fue encontrar un contraejemplo con un número entero y has demostrado que debe ser un número a 3d.p. para que se produzca. ¡Gracias!

greg martin · Answer 2

La pregunta matemática parece ser: si $a^2 < t < b^2$ y $t$ está más cerca de $a^2$ de lo que es $b^2$ , ¿es automáticamente cierto que $\sqrt t$ está más cerca de $a$ de lo que es $b$ ? La respuesta es no, porque sacar raíces cuadradas no preserva las distancias, más precisamente, porque $\sqrt x$ es una función cóncava, reduce las distancias hacia la derecha más que hacia la izquierda (considere $16-9.61=6.39>5.61=9.61-4$ todavía $\sqrt{16}-\sqrt{9.61}=0.9<1.1=\sqrt{9.61}-\sqrt4$ ).

Gracias por el contraejemplo. Originalmente había estado buscando un contraejemplo con < sqrt(x) < a+0.1 pero @David K ha demostrado que esto no puede ocurrir

eric torres · Answer 3

Como ayuda a los diversos argumentos teóricos, un ejemplo.

Considerar $\sqrt{2.403}$ . Rápidamente encontramos $1.5^2 = 2.25$ y $1.6^2 = 2.56$ . nosotros calculamos

\begin{aligned} 2.403 - 2.25 & = 0.153 \\ 2.56 - 2.403 & = 0.157, \end{aligned}

$\begin{align*} 2.403 - 2.25 &= 0.153 \\ 2.56 - 2.403 &= 0.157 \text{,} \end{align*}$ entonces

2.25

$2.25$ está más cerca. Si estas diferencias fueran lineales en las diferencias de las raíces, esperaríamos

{1.55}^{2} > 2.403

$1.55^2 > 2.403$ y por lo tanto reportaríamos

1.5

$1.5$ es la raíz cuadrada con un decimal.

Sin embargo, $1.55^2 = 2.4015 < 2.403$ , por lo que a un lugar decimal, obtenemos $1.6$ para la raíz cuadrada.

Gracias por el contraejemplo. Originalmente había estado buscando un contraejemplo con < sqrt(x) < a+0.1 pero @David K ha demostrado que esto no puede ocurrir

zwim · Answer 4

Puede utilizar esta aproximación para $a,b$ números enteros

\sqrt{a^{2} + b} = (a + \frac{b}{2 a}) - \frac{{(\frac{b}{2 a})}^{2}}{2 (a + \frac{b}{2 a})}

$\sqrt{a^2+b}=\left(a+\frac b{2a}\right)-\frac{\left(\frac b{2a}\right)^2}{2\left(a+\frac b{2a}\right)}$

Consulte aquí para obtener más detalles: https://math.stackexchange.com/a/2866233/399263 .

Esta aproximación es una expansión de orden de Taylor $1$ seguido de un paso del método de Newton.

Tenga en cuenta que para $\sqrt{x}$ para $x$ real puedes multiplicar por un cuadrado grande adecuado $n^2$ y calcule la raíz cuadrada del entero más cercano a $n^2x$ para que el resultado siga siendo bueno con 1 decimal.

Gracias, pero no estoy buscando métodos alternativos, ya que este método es parte del plan de estudios.

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