Confusión - Correlación entre -1 y 1

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Confusión - Correlación entre -1 y 1

diferencia
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correlación
Matemáticas
prueba-explicación
prueba de verificación

betty

Entonces, en el libro de texto, tiene la siguiente prueba de correlación entre $-1$ y $1$ :

Esta prueba parece sólida, pero lo único que no tengo claro es:

¿Por qué la varianza de la razón es $X$ y $\sigma$ , es decir, $Var(X/\sigma$ ) igual a $Var(X)/\sigma^2_x$ ?

doug m

σ_{X}^{2}

$\sigma_X^2$ se define como

V a r (X)

$Var(X)$

betty

@DougM Sí, pero ¿por qué?

V a r (X / σ

$Var(X/\sigma$ ) igual a

V a r (X) / σ_{x}^{2}

$Var(X)/\sigma^2_x$ ?

Michael Hardy

La notación adecuada en este caso es

σ_{X}^{2}

$\sigma_X^2$ , no

σ_{x}^{2} .

$\sigma_x^2.$ Debes tener cuidado con cuál es

X

$X$ y cual es

x

$x$ . La expresion

Pr (X \leq x)

$\Pr(X\le x)$ es por lo demás incomprensible, como lo son algunas otras cosas.

Respuestas (2)

Confusión - Correlación entre -1 y 1

@DougM Sí, pero ¿por qué? $Var(X/\sigma$ ) igual a $Var(X)/\sigma^2_x$ ?
La notación adecuada en este caso es $\sigma_X^2$ , no $\sigma_x^2.$ Debes tener cuidado con cuál es $X$ y cual es $x$ . La expresion $\Pr(X\le x)$ es por lo demás incomprensible, como lo son algunas otras cosas.

matemáticas2x2vida · Answer 1

matemáticas2x2vida

La varianza es el cuadrado de la desviación. Entonces $\text{Var } x=\sigma_x^2$ y entonces el numerador y el denominador son iguales.

betty

Sí, entiendo esta parte, pero ¿por qué?

V a r (X / σ

$Var(X/\sigma$ ) es igual

V a r (X) / σ_{x}^{2}

$Var(X)/\sigma^2_x$ en la prueba?

matemáticas2x2vida

@Kior Recuerda que

Var (a X) = a^{2} Var X

$\text{Var }(aX)=a^2 \text{Var X}$ . Aquí está

σ

$\sigma$ es solo un valor fijo, por lo que se comporta igual bajo la varianza.

doug m · Answer 2

Definición:

Var (X) = \frac{1}{norte} σ_{X}^{2} = \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\operatorname{Var}(X) = \frac 1 n \sigma_X^2= \sum (X_i - \bar X)^2$

Var (\frac{X}{σ_{X}}) =

$\operatorname{Var} \left(\frac {X}{\sigma_X}\right) =$

\frac{1}{norte} \sum {(\frac{X_{i}}{σ_{X}} - \frac{\bar{X}}{σ_{X}})}^{2} \frac{1}{norte} \sum {(\frac{X_{i} - \bar{X}}{σ_{X}})}^{2} \frac{1}{σ_{X}^{2}} \cdot \frac{1}{norte} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2} \frac{1}{σ_{X}^{2}} Var (X) = \frac{1}{σ_{X}^{2}} σ_{X}^{2} = 1

$\frac 1 n \sum \left(\frac {X_i}{\sigma_X} - \frac {\bar X}{\sigma_X}\right)^2\\ \frac 1 n \sum \left(\frac {X_i-\bar X}{\sigma_X}\right)^2\\ \frac 1{\sigma_X^2} \cdot \frac 1 n \sum (X_i-\bar X)^2\\ \frac 1{\sigma_X^2} \operatorname{Var}(X)=\frac 1{\sigma_X^2} \sigma_X^2 = 1$

Definición:

Cov (X, Y) = \frac{1}{norte} \sum (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})

$\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac 1 n \sum (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y)$

La desigualdad de Cauchy-Schwartz:

{(\sum tu v)}^{2} \leq \sum {tu}^{2} \sum v^{2}

$\left(\sum uv\right)^2 \le \sum u^2\sum v^2$

Sustituto $u = (X_i - \bar X)$ y $v = (Y_i - \bar Y)$

{(\sum (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y}))}^{2} \leq \sum (X_{i} - \bar{X})^{2} \sum (Y_{i} - \bar{Y})^{2} | Cov (X, Y) | \leq σ_{X} σ_{Y}

$\left(\sum (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y)\right)^2 \le \sum (X_i - \bar X)^2\sum (Y_i - \bar Y)^2\\ |\operatorname{Cov}(X,Y)| \le \sigma_X\sigma_Y$

Definición:

ρ_{X, Y} = \frac{Cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

$\rho_{X,Y} = \frac {\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

| Cov (X, Y) | \leq σ_{X} σ_{Y} | ρ_{X, Y} | \leq 1

$|\operatorname{Cov}(X,Y)|\le\sigma_X\sigma_Y \\ |\rho_{X,Y}| \le 1$

Y podría valer la pena señalar que $\sigma_X, \sigma_Y$ son equivalentes a las medidas de distancia, y $\rho_{X,Y}$ es equivalente a $\cos \theta$

Ley de los cosenos:

C^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b porque θ

$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos \theta$

Tiene el paralelo:

σ_{X + Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X} σ_{Y} ρ_{X, Y}

$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_X\sigma_Y \rho_{X,Y}$

A menudo se distingue entre una media poblacional $\mu_X = \operatorname{E}(X)$ y una media muestral $\bar X = (X_1+\cdots+X_n)/n,$ donde $X_1,\ldots,X_n$ es una muestra y no toda la población. Esto es crucial cuando tratas de explicar por qué a veces uno divide por $n-1$ en lugar de por $n$ en encontrar la varianza de la muestra y cuando ciertas variables aleatorias tienen una distribución t, etc.
Me tomé la libertad de corregir la omisión del factor crucial $\dfrac 1 n. \qquad$

Confusión - Correlación entre -1 y 1

betty

doug m

betty

Michael Hardy

Respuestas (2)

matemáticas2x2vida

betty

matemáticas2x2vida

doug m

Michael Hardy

Michael Hardy

Varianza de la suma de productos

¿La relación entre la varianza de la muestra y la varianza de la proporción?

No puedo entender la estructura lógica de la prueba de infinitos números primos de Euclides en el libro de Rosen.

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