Prueba de que la raíz cúbica del producto de 2 números primos es irracional [cerrado]

(Usted no declara explícitamente$p \neq q$. Asumo esto aquí. Se puede hacer un argumento similar para el$p = q$caso.)

Suponer$\sqrt[3]{pq} = \frac{a}{b}$es racional en los términos más bajos (por lo que$a$y$b$son enteros,$b > 0$, y$\gcd(a,b) = 1$). Entonces

Una versión un poco más limpia de las respuestas anteriores:

Asumir$\sqrt[3]{pq} = \frac {a}{b}$está en forma reducida. Entonces

El número de factores de$p$a la izquierda no puede ser igual al número de factores de$p$A la derecha. (¿Ver por qué?)

Del Teorema Fundamental de la Aritmética (factorización única de números enteros) tenemos una contradicción.

Solo hazlo de la misma manera que harías raíces cuadradas. es decir, deja$a$sea ​​cualquier número que sea$n$-libre de energía, y considere que es$n$-ésima raíz. En aras de una eventual contradicción, suponga$a^{1/n}$es racional, digamos$a^{1/n} = u / v$con$\gcd(u, v) = 1$. Entonces:

$\begin{align*} a &= \frac{u^n}{v^n} \\ a v^n &= u^n \end{align*}$

Ahora el lado izquierdo es divisible por$u^n$, de este modo$a$es divisible por$u^n$. Contradicción, asumimos$a$está libre de$n$-th poderes.

Su$a = p q$para$p, q$primos está claramente libre de cubos.

Si$x$es la raíz cúbica. Escribir$x={a\over b}$,$a,b$relativamente primo. Tenemos$x^3=pq$implica que$a^3=b^3pq$implica que$p,q$divide$a$,$a=pqu$y$a^3=(pq)^3u^3=b^3pq$implica que$(pq)^2u^3=b^3$y$p,q$divide$b$contradicción.