Cómo encontrar números enteros ppp y qqq tales que (p2–√+q)2=34−242–√(p2+q)2=34−242(p\sqrt{2}+q)^2=34-24\ sqrt{2}

Queremos encontrar números enteros.$p$y$q$tal que

$$(p\sqrt{2} + q)^2 = 34 - 24\sqrt{2}$$ Expandiendo la expresión en el lado izquierdo se obtiene $$2p^2 + 2pq\sqrt{2} + q^2 = 34 - 24\sqrt{2}$$ Coincidencia de rendimientos de partes racionales e irracionales $$\begin{align*} 2p^2 + q^2 & = 34 \tag{1}\\ 2pq\sqrt{2} & = -24\sqrt{2} \tag{2} \end{align*}$$ Resolviendo la ecuación 2 para $q$rendimientos $$q = -\frac{12}{p} \tag{3}$$ Sustituyendo $-12/p$para $q$en la ecuación 1 se obtiene $$\begin{align*} 2p^2 + \left(-\frac{12}{p}\right)^2 & = 34\\ 2p^2 + \frac{144}{p^2} & = 34\\ 2p^4 + 144 & = 34p^2\\ 2p^4 - 34p^2 + 144 & = 0\\ p^4 - 17p^2 + 72 & = 0\\ (p^2 - 9)(p^2 - 8) & = 0\\ (p + 3)(p - 3)(p + 2\sqrt{2})(p - 2\sqrt{2}) & = 0 \end{align*}$$ que da las soluciones $p = -3, 3, -2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}$. Los valores correspondientes para $q$puede obtenerse sustituyendo estos valores por $p$en la ecuación 3. Verifique que los resultados cumplan con los requisitos establecidos.

Esto no responde necesariamente a la pregunta, pero creo que ayuda, ya que el OP básicamente pide una simplificación para el radical anidado.

$$Z=\sqrt{34-24\sqrt2}$$ Si $X,Y\in\mathbb{R}$, entonces existe una simplificación si y sólo si $X^2-Y^2$es un cuadrado perfecto. De hecho, una simplificación es $$\sqrt{X\pm Y}=\sqrt{\frac {X+\sqrt{X^2-Y^2}}2}\pm\sqrt{\frac {X-\sqrt{X^2-Y^2}}2}$$ Esto se puede probar fácilmente si asumimos que es posible una anidación y dejamos $$\sqrt{X\pm Y}=\sqrt A\pm\sqrt B$$ Ahora eleva al cuadrado ambos lados y deberías obtener una cuadrática donde sus soluciones son simplemente $A$y $B$. Ahora configura $X=34$y $Y=24\sqrt2$.

Nota

$$\sqrt{34-24\sqrt2} =\sqrt{2(17-2\sqrt{72})} = \sqrt{2(\sqrt9-\sqrt{8})^2}= 3\sqrt2-4$$ De este modo,$(p,q)=(3,-4),(-3,4)$.