Corrección del propagador en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4: ¿por qué este crecimiento secular no rompe la teoría de la perturbación?

Question

Corrección del propagador en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4: ¿por qué este crecimiento secular no rompe la teoría de la perturbación?

Física
propagador
interacciones
Feynman-diagramas
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos

QuantumEyedea

El propagador gratuito para un masivo $m\neq0$ campo escalar real es el siguiente:

{GRAMO}_{0} (X, y) = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{{mi}^{i pag \cdot (X - y)}}{{pag}^{2} + {metro}^{2} - i ϵ}

$G_{0}(x,y) \ = \ \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} \frac{e^{i p \cdot (x-y)}}{p^2 +m^2 - i \epsilon}$

Es bien sabido que al integrar lo anterior se obtiene la siguiente función que involucra la función de Bessel modificada de segundo tipo:

{GRAMO}_{0} (X, y) = - \frac{i}{4 π^{2}} \frac{metro}{\sqrt{- t^{2} + | r |^{2}}} k_{1} (metro \sqrt{- t^{2} + | r |^{2}}) - \frac{1}{4 π} d (- t^{2} + | r |^{2})

$G_{0}(x,y) \ = \ - \frac{i}{4\pi^2} \frac{m}{\sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2 }} K_{1}\left( m \sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2} \right) - \frac{1}{4\pi} \delta\left( - t^2 + |\mathbf{r}|^2 \right)$

Dónde $t := x^0 - y^0$ y $\mathbf{r} := \mathbf{x} - \mathbf{y}$ .

Considere la siguiente corrección de dos bucles al propagador en un $\phi^{4}$ -Teoría de la interacción:

El diagrama de "doble renacuajo" anterior da como resultado 2 integrales de bucle y una transformada de Fourier sobre 3 propagadores. Usando el hecho de que:

\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial ({metro}^{2})^{2}} {\frac{1}{{pag}^{2} + {metro}^{2} - i ϵ}} = \frac{1}{{({pag}^{2} + {metro}^{2} - i ϵ)}^{3}}

$\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial (m^2)^2} \left\{ \frac{1}{p^2 +m^2 - i \epsilon} \right\} \ = \ \frac{1}{\left(p^2 +m^2 - i \epsilon\right)^3}$

encontramos que el diagrama anterior es proporcional (hasta algunos $\mathbb{C}-$ números) a la siguiente función:

\propto λ^{2} T^{2} \frac{\partial^{2} {GRAMO}_{0} (X, y)}{\partial ({metro}^{2})^{2}} \propto λ^{2} T^{2} \frac{\sqrt{- t^{2} + | r |^{2}} k_{1} (metro \sqrt{- t^{2} + | r |^{2}})}{metro}

$\propto \lambda^2 \mathcal{T}^2\frac{\partial^2 G_0(x,y)}{\partial (m^2)^2} \propto \lambda^2 \mathcal{T}^2 \frac{\sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2}\ K_1\left( m \sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2} \right)}{m}$

Dónde $\mathcal{T}$ es el siguiente bucle de renacuajo (y $\Lambda \gg m$ es un corte UV):

T = \int_{Λ} \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} \frac{1}{k^{2} + {metro}^{2} - i ϵ} = \frac{i}{dieciséis π^{2}} [Λ^{2} - {metro}^{2} registro (\frac{Λ^{2}}{{metro}^{2}} + 1)]

$\mathcal{T} \ = \ \int_{\Lambda} \frac{d^{4}k}{(2\pi)^4}\frac{1}{k^2+m^2-i\epsilon} \ = \ \frac{i}{16 \pi^2} \left[ \Lambda^2 - m^2 \log\left( \frac{\Lambda^2}{m^2} + 1 \right) \right]$

Esta doble función de renacuajo me resulta alarmante por lo siguiente: cuando configuro la separación espacial $\mathbf{r}=0$ , y luego considere las asintóticas como $t\to\infty$ , la función se ve así:

\sim λ^{2} T^{2} \frac{\sqrt{t} {mi}^{- i metro t}}{{metro}^{3 / 2}}

$\sim \ \lambda^2 \mathcal{T}^2\ \frac{\sqrt{t}\ e^{-imt}}{m^{3/2}}$

Así que esta función crece a medida que tomamos tiempo $t\to \infty$ . Esto parece indicar un colapso secular de nuestra expansión perturbativa en $\lambda$ - la idea es que no importa cuán pequeño hagamos nuestro $\lambda$ -acoplamiento, si simplemente esperamos lo suficiente, este término en la serie explotará arruinando nuestra serie.

En general, para $N$ -inserciones de renacuajos: he descubierto que el tratamiento anterior produce (por $\mathbf{r}=0$ y $t\to\infty$ ) las siguientes asintóticas:

\sim λ^{norte} T^{norte} \frac{t^{norte - \frac{3}{2}}}{{metro}^{norte - \frac{1}{2}}} {mi}^{- i metro t}

$\sim \lambda^N \mathcal{T}^N\ \frac{t^{N-\frac{3}{2}}}{m^{N-\frac{1}{2}}} e^{-im t}$

Estas asintóticas son válidas para todos $N \geq 0$ (dónde $N=0$ es solo el propagador libre).

¿Por qué estos términos no dan como resultado una serie perturbativa de crecimiento secular? He notado que los términos que tienen esta "divergencia de tiempo" comienzan en $N=2$ renacuajos, que por supuesto, son los gráficos que no son 1PI, así que tengo la sensación de que la respuesta tiene algo que ver con esto y, por alguna razón, quizás debamos ignorar estos diagramas.

knzhou

¿Estás seguro de que no hay factores numéricos adicionales, como un

1 / N!

$1/N!$ Para el

N

$N$ -¿renacuajo? Porque para, digamos,

\cos (t) = 1 - t^{2} / 2! + t^{4} / 4! - \dots

$\cos(t) = 1 - t^2/2! + t^4/4! - \ldots$ cada término individual está "creciendo secularmente", volviéndose arbitrariamente grande para arbitrariamente grande

t

$t$ , pero la suma está bien.

knzhou

Una forma de verificar si la suma total tiene sentido es hacer el truco habitual de resumen 1PI: la suma de todos estos diagramas es una serie geométrica con el primer término igual al propagador desnudo y la relación igual al renacuajo multiplicado por el propagador desnudo. (Me gustaría intentarlo, ¡pero me voy a la cama!)

knzhou

Otra idea es que, genéricamente, la serie de perturbaciones para un QFT tiene un radio de convergencia cero , por lo que tal vez simplemente no sume nada. Aunque creo que ese no es el problema aquí, porque a nivel de diagramas surge de la explosión combinatoria de los mismos. Con solo un 'tipo' de diagrama considerado, debería estar bien. (Y

T

$\mathcal{T}$ es infinito también, pero eso lo sabes.)

Juan Barrett

Estos diagramas se cancelan exactamente con diagramas de contratérminos cuadráticos. No tiene sentido evaluarlos sin el contratérmino.

Respuestas (2)

Corrección del propagador en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4: ¿por qué este crecimiento secular no rompe la teoría de la perturbación?

¿Estás seguro de que no hay factores numéricos adicionales, como un $1/N!$ Para el $N$ -¿renacuajo? Porque para, digamos, $\cos(t) = 1 - t^2/2! + t^4/4! - \ldots$ cada término individual está "creciendo secularmente", volviéndose arbitrariamente grande para arbitrariamente grande $t$ , pero la suma está bien.
Una forma de verificar si la suma total tiene sentido es hacer el truco habitual de resumen 1PI: la suma de todos estos diagramas es una serie geométrica con el primer término igual al propagador desnudo y la relación igual al renacuajo multiplicado por el propagador desnudo. (Me gustaría intentarlo, ¡pero me voy a la cama!)
Otra idea es que, genéricamente, la serie de perturbaciones para un QFT tiene un radio de convergencia cero , por lo que tal vez simplemente no sume nada. Aunque creo que ese no es el problema aquí, porque a nivel de diagramas surge de la explosión combinatoria de los mismos. Con solo un 'tipo' de diagrama considerado, debería estar bien. (Y $\mathcal{T}$ es infinito también, pero eso lo sabes.)
Estos diagramas se cancelan exactamente con diagramas de contratérminos cuadráticos. No tiene sentido evaluarlos sin el contratérmino.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Algunos comentarios:

Por alguna razón, eligió incluir el $n$ - renacuajo de orden pero no el resto de diagramas que contribuyen al mismo orden. En general, esta es una operación sin sentido: o incluye todos los diagramas en un orden dado, o ninguno de ellos. En general, considerar solo un subconjunto no es una operación válida y puede conducir a resultados incoherentes/no físicos.
De hecho, los diagramas de renacuajo no se pueden medir y pueden eliminarse mediante la operación de ordenamiento normal (cf. esta publicación de PSE ), por lo que realmente no pueden hacer que la teoría se derrumbe. Ninguna predicción física depende de ellos.
Citando a D. Tong (página 138),

Si fuéramos a truncar la suma infinita (6.13) en cualquier finito $n$ , todo el asunto divergiría. Pero las sumas infinitas pueden hacer cosas que las sumas finitas no pueden y el comportamiento final de la amplitud (6.14) es mucho más suave que cualquiera de los términos individuales.

Aquí Tong se refiere a la amplitud de Virasoro-Shapiro en la Teoría de Cuerdas, pero la afirmación también es válida aquí: la reanudación de la serie de potencia/asintótica conduce a un comportamiento completamente diferente al de la serie truncada. Su $n$ amplitud de orden th puede parecer tener una singularidad en $t=\infty$ , mientras que la amplitud real es de hecho finita en ese punto. Considere como ejemplo la serie $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$ , que es finito en $x=\infty$ pero la serie truncada tiene un polo allí.

En particular, la función de dos puntos (el objeto que está calculando) en realidad está dada por el inverso de la energía propia $\Pi$ (calculado teniendo en cuenta únicamente los diagramas adecuados). La primera contribución a la energía propia es el diagrama de renacuajo, por lo que es posible que desee concluir que $G_2=\Pi^{-1}\sim t^{-1/2}$ , que se desvanece en $t=\infty$ en lugar de divergir. Una vez más, las series resumidas no se parecen en nada a los términos individuales. Para la justificación de la reanudación de una serie divergente, consulte esta publicación del PSE .
En tratamientos rigurosos de QFT perturbativo, las constantes de acoplamiento se desactivan adiabáticamente en $t\to\pm\infty$ . Típicamente, al menos tan rápido como $g(t)\propto \mathrm e^{-\epsilon |t|}$ para algunos $\epsilon>0$ . Por lo tanto, estrictamente hablando, sus amplitudes realmente no crecen durante grandes $|t|$ pero en realidad se descompone .
Finalmente, tenga en cuenta que la función de dos puntos es en realidad una distribución en lugar de una función regular. Por lo tanto, evaluándolo en $t\to\infty$ no es realmente una operación significativa. Para extraer un número de la distribución, debe integrarlo en una función de prueba, que normalmente decae exponencialmente rápido para grandes $(t,\boldsymbol x)$ .

Wakabaloola · Answer 2

Debo agregar a la (s) respuesta (s) ya buena (s) dada (s) por @AccidentalFourierTransform, en que el 'ordenamiento normal' cancela ALGUNOS diagramas de renacuajos (de hecho, todos ellos en la teoría phi ^ 4) pero no los cancela todos en teorías de campo más generales . Por ejemplo, el ordenamiento normal cancela los diagramas 2, 3,..., 7 y 10, 11 en: pero no los diagramas 1, 8, 9 y 12. Creo que @AccidentalFourierTransform es consciente de esto (debido a sus referencias citadas), pero permítanme agregar también esta referencia, https://arxiv.org/abs/1512.02604 , donde se muestra cómo generalizar la noción de orden normal a lo que es llamado 'ordenamiento normal completo' (una generalización que es completamente natural). En 'ordenamiento normal completo' TODOS los diagramas de renacuajo se cancelanautomáticamente (de hecho, todos los diagramas de Feynman de cefalópodos para ser precisos, que es una clase más amplia de diagramas que los renacuajos; todos los diagramas en la figura son cefalópodos y todos se cancelan en un orden completamente normal), a todos los órdenes en la teoría de perturbaciones. Se muestra explícitamente en esa referencia que estas cancelaciones se capturan con precisión al introducir contratérminos en su teoría de campo original. De hecho, la definición de ordenamiento normal completo no es perturbativa. (En el orden completamente normal de su acción desnuda, está cuantificando automáticamente su teoría en torno al fondo completo corregido cuánticamente).

De hecho, siempre me gustó el orden normal de Skliros. No sé por qué el(los) artículo(s) no se cita(n) con más frecuencia.

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QuantumEyedea

knzhou

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Juan Barrett

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