Confusión en un truco para resolver una función propia de energía

Dada una función propia de energía no relativista para un potencial central$\left|\Phi \right>$

Al resolver el átomo de hidrógeno relativista, uno de los términos es

$$\left<\Phi\middle|\frac{e^2}{r}\middle|\Phi\right> \tag{1}$$

He leído un truco para solucionarlo es:

$$\left<\Phi\middle|\frac{e^2}{r}\middle|\Phi\right> =\left<\Phi\middle|\frac{-e}{2}\frac{\partial}{\partial e}\left[\frac{\hat {P}^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right]\middle|\Phi\right> = \left<\Phi\middle|\frac{-e}{2}\frac{\partial}{\partial e}\middle[\hat {H}\middle|\Phi\middle>\right]\tag{2}$$

y da el valor correcto

$$-\frac{me^4}{\hbar^2n^2} .\tag{3}$$

Para entender este truco, probé esto en otro término:

$$\left<\Phi\middle|\frac{e^4}{r^2}\middle|\Phi\right> =\left<\Phi\middle|\frac{e^2}{r} \frac{e^2}{r}\middle|\Phi\right> =\left<\Phi\middle|\frac{e^2}{4}\left[\frac{\partial}{\partial e}\left(\frac{P^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right)\right]^2\middle|\Phi\right> ,\tag{4}$$ asumiendo $(\frac{\partial}{\partial e}\hat{H})^\dagger = \frac{\partial}{\partial e}\hat{H}$.

entonces esto es igual

$$\left<\frac{e}{2}\frac{\partial}{\partial e} \left(\frac{\hat{P}^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right)\Phi\right|\left|\frac{e}{2}\frac{\partial}{\partial e}\left(\frac{\hat{P}^2}{2m}-\frac{e^2}{r}\right)\Phi\right> = \left(\frac{me^4}{\hbar^2n^2}\right)^2 .\tag{5}$$ Sin embargo, dado que se supone que este mismo término nos dice cómo el efecto relativista destruye la simetría, mientras que este resultado no nos da ruptura de degeneraciones. Resulta que la respuesta correcta para este término es $$\frac{m^2e^4}{(\ell+1/2)\hbar^4n^3}.\tag{6}$$

Me toma tanto tiempo que todavía no puedo descifrar dónde está mal, sospecho$\frac{\partial}{\partial e}\hat{H}$no es hermitiano.