¿Cuál es la densidad de una esfera de polvo estático en un universo en aceleración?

Las ecuaciones de campo de Einstein son locales , por lo que las condiciones de estaticidad con homogeneidad espacial proporcionan relaciones inequívocas entre la densidad de la materia, la constante cosmológica y el radio de curvatura espacial (obtenible a partir de las ecuaciones de Friedmann estableciendo$\dot a \equiv 0$y$\ddot a \equiv 0$). La estructura global de la solución aquí no importa. Entonces sí, la densidad del polvo sería$\rho = \Lambda c^2 / 4\pi G$

Las condiciones de unión en el límite de la esfera de polvo son:

1. La métrica inducida en el límite desde ambos lados es la misma. Esto significa que el radio de la esfera límite es el mismo (denotemos$R$) en ambas geometrías y ese componente de tiempo de la métrica ($g_{tt}$en coordenadas estáticas) es continua.

2. El observador estático cerca del límite en el lado exterior del SdS es geodésico. Esto significa que en el límite, la atracción gravitatoria de la materia del polvo se compensa con precisión por la repulsión debida a la constante cosmológica, por lo que la masa de prueba liberada con velocidad cero en el marco de referencia estático permanecería estática. Cuantitativamente esto significa que en coordenadas estáticas$\frac{d}{dr}g_{tt}=0$en el límite. Dado que el parámetro libre de la solución SdS es la masa$M$, fijando el radio de la unión$R$arreglaría la geometría exterior.

Para la solución SdS$g_{tt} = 1 - \frac{2M} r -\frac{\Lambda r^2} 3$(en unidades con$G=c=1$), por lo que la segunda condición de unión significa que

$$M = \frac{\Lambda R^3 } 3 = \frac {4 \pi \rho R^3 } 3 \,.$$ Tenga en cuenta que mientras que para pequeños$R$esta masa podría interpretarse como una masa del polvo dentro de la esfera, para mayor$R$el interior espacial está notablemente curvado, de modo que el volumen interior es mayor que$\frac{4 \pi R^3 } 3$(defecto de masa gravitacional).

Se puede encontrar más información sobre las condiciones de unión en este modelo en la vasta literatura que analiza el modelo de Einstein-Straus , que en cierto sentido es una inversión de la solución que estamos analizando: solución cosmológica que rodea el vacío alrededor de la masa puntual/agujero negro.

Pero estoy tratando de entender los límites de los sistemas de masas...

Mientras que la ecuación anterior para$M$no lo hace obvio, hay, de hecho, un límite en la masa (y en consecuencia en$R$), porque el$g_{tt}$La función debe ser positiva en$r=R$. Esto significa que la masa debe satisfacer la condición$3 M < \Lambda ^{-\frac12}$. El caso límite es el mismo en el que se obtiene la solución de Nariai, por lo que la geometría límite sería la geometría de Nariai$dS_2 \times S_2$corte a lo largo de la geodésica temporal de$dS_2$factor, pegado junto con el universo de Einstein de polvo lambda estático ($S_3 \times \mathbb{ R}$) cortado por la mitad a lo largo de la gran esfera de$S_3$. Entonces, el contenido de materia en polvo de tal solución limitante es precisamente la mitad de la materia en polvo en el universo estático de Einstein.