¿Cómo implica el principio de equivalencia que las derivadas de la métrica se desvanecen en un marco en caída libre?

¿Por qué las primeras derivadas de gramo m v desaparecer en un sistema de coordenadas en caída libre?

Me gustaría partir del principio de equivalencia de que para cualquier punto del espacio-tiempo existe una inercia localmarcoSistema de coordenadas Cartesianas. En estas coordenadas, y en una región suficientemente pequeña alrededor del punto del espacio-tiempo, las leyes de la física son consistentes con la relatividad especial y no hay fuerza gravitacional. esto es cierto para

Creo que estas coordenadas inerciales locales son las que se utilizarían en el marco de referencia de "caída libre". ¿Está bien? Es decir, si haces cualquier experimento de física en un pequeño ascensor en caída libre, los resultados que obtienes (en el marco del ascensor) son exactamente los predichos por la relatividad especial y E&M, sin gravitación. Y las coordenadas cartesianas naturales que configuraría en el elevador serían las coordenadas inerciales locales mencionadas anteriormente (tal vez un módulo de impulso y una rotación espacial).

En esta imagen, la métrica en un punto del espacio-tiempo X PAG m se define por la transformación de coordenadas entre estas coordenadas inerciales locales ξ PAG m y las coordenadas del "laboratorio" X m :

gramo m v ( X PAG ) ≡ η α β ∂ ξ PAG α ( X PAG ) ∂ X m ∂ ξ PAG β ( X PAG ) ∂ X v ,
dónde η α β = d i a gramo ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) .

De la forma en que interpreto esto, la métrica es solo un objeto que puede usar para calcular el intervalo invariante relativista especial d s 2 entre dos eventos que encontrarías en el marco de caída libre.

En particular, si estamos en el ascensor de caída libre (es decir, las coordenadas X m son los ξ PAG m ) entonces la métrica es η m v como esperamos ya que la relatividad especial se cumple en el sistema de caída libre. Pero aparentemente la derivada de la métrica en este sistema también es cero. ¿Por qué?

El libro Gravitation and Cosmology de Weinberg dice que las derivadas distintas de cero de la métrica se manifestarían en un experimento local que encontraría que las velocidades de diferentes relojes serían diferentes (violando la relatividad especial). Pero no explica exactamente cómo funciona este argumento.

Si las derivadas de la métrica no se desvanecieran localmente en un marco en caída libre, los símbolos de Christofel no se desvanecerían, lo que experimentaría como una fuerza neta (inercial) en el marco.
Según tengo entendido, los "símbolos de Christoffel" que definiría para calcular estas fuerzas netas serían Γ α β m ≡ ( ∂ 2 ξ v / ∂ X α ∂ X β ) ( ∂ X m / ∂ ξ v ) , no los símbolos habituales de Christoffel que utilizan las derivadas métricas. Creo que la equivalencia de las dos definiciones para los símbolos de Christoffel utiliza el hecho de que la métrica no tiene derivadas en un marco de inercia local.
@Alex Sí, gran punto. Weinberg en realidad deja esto claro dos veces (bueno, muy claro una vez (págs. 101) y sutilmente claro la otra vez (págs. 74)). El hecho que es cierto sin utilizar la desaparición de las primeras derivadas es que la diferencia entre las conexiones afines y los símbolos de Christoffel es un tensor. Que este tensor se anula solo se puede demostrar utilizando la anulación de las primeras derivadas.
En P. 101 Weinberg dice que las primeras derivadas del tensor métrico tienen que anularse en coordenadas inerciales porque "no puede haber corrimiento al rojo gravitacional entre puntos infinitesimalmente separados". Creo que esta es la declaración que quiero entender con más rigor.

Respuestas (1)

¿Cómo implica el principio de equivalencia que las derivadas de la métrica se desvanecen en un marco en caída libre?

Lo que afirmas no es cierto. La métrica puede tener todo tipo de formas dependiendo del sistema de coordenadas. Por ejemplo, si utiliza coordenadas polares, los componentes de la métrica varían y los símbolos de Christoffel son distintos de cero.

Además, los sistemas de coordenadas no corresponden a marcos de referencia. Consulte ¿Cómo funcionan los marcos de referencia en la relatividad general y se describen mediante sistemas de coordenadas?

En particular, si estamos en el sistema de coordenadas de caída libre (es decir, las coordenadas X m son los ξ PAG m ) entonces la métrica es η m v como esperamos ya que la relatividad especial se cumple en el sistema de caída libre.

No es verdad. La métrica puede tener varias formas en SR según su sistema de coordenadas, y afirmar que desea usar un marco de caída libre no implica ningún sistema de coordenadas en particular.

Creo que este marco de inercia local es lo mismo que un marco de referencia de "caída libre". ¿Está bien? Es decir, si haces cualquier experimento de física en un pequeño ascensor en caída libre, los resultados que obtienes (en el marco del ascensor) son exactamente los predichos por la relatividad especial y E&M, sin gravitación.

Sí, aunque no tiene mucho sentido decir "marco inercial local", porque los marcos de referencia siempre son locales en GR.

Podríamos tratar de cambiar su declaración para que se hiciera realidad. Si quisiéramos hacer eso, lo primero que tendríamos que decidir es si desea restringir la discusión al espacio-tiempo plano. Nunca dices nada sobre eso en la pregunta.

gracias ben Edité la pregunta para ser más preciso. En particular, las coordenadas inerciales locales de las que hablo deben ser siempre cartesianas. Y la pregunta se trata de un campo gravitatorio arbitrario, no necesariamente espacio-tiempo plano.
¿Cómo implica el principio de equivalencia que las derivadas de la métrica se desvanecen en un marco en caída libre?
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