¿Conversión de la acción Polyakov en la acción Nambo-Goto?

La mejor derivación es la de Polyakov, y se encuentra en el capítulo de cadenas largas de "Gauge Fields and Strings".

El punto clave es que el campo h en la integral de trayectoria está integrado, pero no tiene términos derivados, por lo que las fluctuaciones en el campo h solo actúan para reemplazarlo en cada punto por su valor estacionario. Las partes X simplemente siguen el viaje cuando buscan puntos estacionarios de h, por lo que puede escribir la acción como

$$S = \int \sqrt{h} h^{\alpha\beta} \gamma_{\alpha\beta}$$

Dónde$\gamma_{\alpha\beta} = \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X_\mu$es el producto escalar de un$\alpha$coordinar el paso con un$\beta$paso de coordenadas, es decir, es la métrica inducida. La métrica inducida desempeña el papel de un término fuente en la integral de ruta h (ignorando la integral de ruta X). La condición de punto estacionario se encuentra variando h (usando la importante fórmula de variación del determinante$\delta h = h h^{\alpha\beta} \delta h_{\alpha\beta}$que aprendes en la clase de matemáticas como "expansión por menores" y "el teorema inverso-menor"):

$$\sqrt{h} \gamma_{\alpha\beta} + {1\over2\sqrt{h}} h h_{\alpha\beta} h^{\kappa\delta}\gamma_{\kappa\delta}$$

Si resuelves para h, encuentras que

$$h_{\alpha\beta} = - {\gamma_{\alpha\beta}\over {1\over 2} h^{\kappa\delta}\gamma_{\kappa\delta}}$$

Esto puede parecer una solución incompleta, pero el denominador de la derecha es un escalar, por lo que esto significa que los tensores h y$\gamma$son proporcionales

$$h_{\alpha\beta} = A(x) \gamma_{\alpha\beta}$$

Donde la constante de proporcionalidad A(x) no hará ninguna diferencia (cualquier dos opciones A darán soluciones y conducirán a la misma acción).

Sustituye en el valor extremo por h en la acción, y recuerda cómo tomar una matriz inversa:$h^{\alpha\beta} = {1\over A} \gamma^{\alpha\beta}$, y obtienes que la contribución de la acción para cada fuente externa$\gamma_{\alpha\beta}$es proporcional a$\sqrt{\gamma}$no importa qué$A(x)$pasa a ser, lo que da la acción Nambu-Goto. Luego, integra la acción Nambu-Goto sobre las variables integrales de ruta restantes, que son las coordenadas de incrustación.$X^\mu$.

La integral de trayectoria de Nambu-Goto es difícil de entender de otra forma que no sea resolverla de forma clásica, definiendo osciladores armónicos y cuantizándolos asumiendo que se convierten en osciladores armónicos estándar. Este es el antiguo enfoque de la teoría de cuerdas. La acción de Polyakov solo se usa para fijar un calibre para h que convertirá el problema en un modelo sigma simple. Entonces, la equivalencia entre ellos es más una cuestión formal, que relaciona la expansión del oscilador armónico con los operadores de vértice en el formalismo h. No es necesariamente una igualdad de ruta integral, porque la integral de ruta Nambu-Goto no está claramente bien definida fuera de convertirla en Polyakov y fijar el indicador para h.