Convergencia uniforme de la secuencia de la función derivada en subconjuntos compactos

Permítanme resumir aquí: creo que la siguiente proposición es verdadera, ya que se le da una "prueba" en la página 54-55 en Complex Analysis de Elias Stein y Rami Shakarchi (Princeton University Press), que para mí, sin embargo, no es Convincente.

De todos modos, la proposición en cuestión dice que

Dado$\Omega\subset \Bbb C$un subconjunto abierto arbitrario , si$\{f_n\}$, una secuencia de funciones holomorfas en$\Omega$, converge uniformemente a alguna función$f$en todos los subconjuntos compactos de$\Omega$, entonces$f$también es holomorfo en$\Omega$ y$\{f'_n\}$converge uniformemente a$f'$en todos los subconjuntos compactos de$\Omega$.

Ya entiendo cómo se prueba la primera parte de la afirmación, pero no estoy seguro de la segunda parte (es decir, la parte en cursiva). ¿Alguien puede referirme a una prueba o refutación? Tenga cuidado, sin embargo, que no hay restricciones puestas en el conjunto abierto.$\Omega$! Gracias de antemano.

Para aquellos que estén interesados, tengo dudas sobre la prueba de Stein porque quiere probar mostrando que$f_n-f$converge uniformemente a$0$en cualquier

$$\Omega_{\delta}:=\{z\in\Omega\mid d(z,\partial \Omega)<\delta\}.$$ Esto creo que solo es cierto cuando podemos cubrir cada $\Omega_\delta$con un subconjunto compacto de $\Omega$, que parece inútil cuando $\Omega$es, digamos, una región ilimitada.