En el Intercapítulo VII de su biografía de Gauss, WK Buhler describe el descubrimiento de Gauss de una de las propiedades importantes que caracterizan a la invariante (invariante absoluta de Klein; Gauss la llamó "Función Sumatorische"): que asume cada valor complejo exactamente una vez cuando se calcula en un dominio fundamental para la acción de grupo modular. Menciona que este resultado fue redescubierto mucho más tarde por Dedekind.
En otras palabras, este resultado dice que es una función sobreyectiva ("función sobre") del dominio fundamental al plano complejo. Y también dice que es inyectivo, ya que asigna el dominio fundamental a todo el plano complejo en una correspondencia uno a uno.
Estaba tratando de buscar este resultado en el trabajo de Gauss , y encontré un resultado que se acerca a esta declaración, pero no exactamente; En p. 478 del volumen 3 de sus obras Gauss dice:
La ecuacion
siempre tiene una y exactamente una solución en un dominio determinado.
Gauss no especifica ninguna restricción sobre y por lo tanto asumo que significa "un número complejo arbitrario". Esta observación va acompañada de un dibujo de cierto dominio fundamental. son las funciones theta de Jacobi, y por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación coincide con la definición de la raíz cuadrada de la "función lambda modular" .
Por lo tanto, Gauss dice que mapea el dominio fundamental en todo el plano complejo. Ahora, leí eso y están íntimamente relacionados, pero ¿el resultado escrito por Gauss implica el resultado descubierto más tarde por Dedekind? y si no, ¿alguien puede referirse al lugar exacto en el trabajo de Gauss donde establece este resultado?
He encontrado una referencia para la propiedad de inyectividad del función cuando actúa sobre un dominio fundamental, y éste constituye la primera parte de la "propiedad especial". Sin embargo, en cuanto a la sobreyectividad de , todavía estoy buscando.
En un breve párrafo (inédito) en la página 386 del volumen 3, Gauss introduce un mapeo del conjunto de formas cuadráticas binarias de discriminante y el semiplano superior . A cada forma Gauss asocia un punto (complejo) . Este mapeo conecta la teoría aritmética de las formas cuadráticas binarias (que Gauss ha tratado exhaustivamente en el capítulo V del DA) con sus aspectos de teoría de funciones. Gauss que describe una "función sumatoria" (que Klein más tarde llamó ), como una función que se mantiene constante bajo la acción del conjunto modular completo. Él dice:
En particular, si las formas y son equivalentes, entonces establezca si es un número entero o si .
Gauss dice aquí que permanece constante al aplicar los dos generadores del grupo modular (y por lo tanto no se altera bajo ninguna combinación de estos generadores). Tenga en cuenta que trabaja con el medio plano derecho (no la mitad superior), pero la idea es similar.
Aunque esto no se establece explícitamente en el pasaje de Gauss, su definición aritmética de la única forma cuadrática reducida (para una clase de equivalencia dada) como una con , corresponde bajo el mapeo de Gauss al dominio fundamental para el grupo modular (y por lo tanto para ). De la unicidad de la forma reducida se concluye que es de hecho inyectivo en un dominio fundamental; esto no es sorprendente, ya que esta fue la motivación inicial para la construcción de un dominio fundamental. Gauss dibujó dominios fundamentales para varios subgrupos de (el grupo modular), pero no encontré el de la totalidad ; sin embargo, por su familiaridad con estos asuntos, se puede concluir que definitivamente lo sabía.
alejandro eremenko
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