Construyendo un hamiltoniano (como un polinomio de qiqiq_i y pipip_i) a partir de su espectro

Parece que hay una manera simple de hacer esto para polinomios con grado finito$d$. Desde$a^\dagger a$es el operador numérico, podemos tomar$a^\dagger a = N$, dónde$N$es el número de excitaciones correspondientes a un determinado nivel. Entonces si el hamiltoniano tiene la forma general$H = \sum_{k=0}^d c_k (a^\dagger a)^k$, la energía correspondiente a un estado particular es$E_N = \sum_{k=0}^d c_k N^k$. Desde$N$es constante para un estado propio dado del hamiltoniano, la ecuación para$E_N$es solo una ecuación lineal en las variables$\{c_k\}_k$. Ya que tienes el espectro, tienes$E_N$, y por lo tanto puede resolver usando la eliminación guassiana (o cualquiera que sea su técnica preferida para resolver sistemas lineales de ecuaciones). Incluso si el espectro es infinito, solo necesitarás$d+1$ecuaciones para fijar los valores de$c_k$, por lo que este es un cálculo simple.

Ya se mencionó en un comentario anterior sobre un tema en física.SE, que puede estar relacionado con el problema de dispersión inversa. Solo puedo agregar que existe un método preciso de construcción del operador Shroedinger$p^2 + V(q)$con espectro finito arbitrario para el caso unidimensional. Está muy bien desarrollado debido a la aplicación a la teoría de solitones. Los operadores polinómicos$V(q)$tienen algunos problemas debido a los infinitos para$q \to \pm \infty$, pero para$V(q)$con rápida convergencia a cero hay cientos de papeles. Puede encontrarse una construcción especialmente sencilla, por ejemplo, en M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, Filadelfia, 1981.

La idea, que si tienes alguna$L_1 = p^2 + u(q)$con el espectro dado, hay un método elegante para agregar otro valor propio$\zeta$. Debes considerar la ecuación$L_1 g = \zeta g$, encuentra la solución$g(q)$. Entonces$L_2 = p^2 + u + 2 (\ln (g))''$guarda todos los valores propios de$L_1$, pero también tiene un nuevo valor propio$\zeta$con función propia$1/g(q)$. Así que puedes empezar con$u=0$y sumar valores propios uno tras otro.

Sin embargo, como mencioné aquí, hay un problema con el caso polinomial, es unidimensional y puede ser solo útil si es una idea para buscar trucos como$g \to 1/g$sumando valores propios...

[AÑADIR] (1). Creo que también es posible considerar productos$L_k(q_k)$, etc (2). No es único, por ejemplo, la deformación isoespectral de$L$se describe mediante la ecuación KdV (sin embargo, también se mencionó en una referencia en el hilo Physics.SE)

Aquí hay un nuevo documento que puede estar relacionado con este problema y apareció hoy en el archivo:

Recuperación del hamiltoniano a partir de datos espectrales

Cyrille Heriveaux, Thierry Paul

http://arxiv.org/abs/1202.5102