¿Matriz hamiltoniana de elementos diagonales?

Déjame intentarlo:

Si interpreto esto correctamente,$\mathbf{F}$será el operador para el giro completo del sistema acoplado,$\mathbf{S}$será el operador del espín del electrón (por lo general, uno consideraría$\mathbf{J}$, el espín que contiene también el acoplamiento espín-órbita, pero estamos en la capa S, por lo tanto, no hay momento angular) y$\mathbf{I}$será el espín nuclear. Entonces debería contener eso$\mathbf{F}=\mathbf{S}+\mathbf{I}$, ¿bien?

Primero, echemos un vistazo a la estructura hiperfina hamiltoniana.$\mathbf{H}_{hf}$. Por construcción de$\mathbf{F}$, los estados propios de$\mathbf{H}_{hf}$serán estados propios de$F^2$y$F_z$. Esto es lo mismo que para el momento angular y el espín del electrón (y construimos$\mathbf{F}$tener esta propiedad - esto nos permite etiquetar los estados propios por el número cuántico correspondiente a$\mathbf{F}$). Por lo tanto, el hamiltoniano debe ser diagonal en el$|F^2,m_F\rangle$-base. También se puede ver que$F^2$viaja con$I^2$y$S^2$(y también$F_z$), desde$\mathbf{F}=\mathbf{I}+\mathbf{S}$.

Ahora echamos un vistazo a$\mathbf{H}_B$, la interacción hamiltoniana con un campo magnético constante. Podemos ver que (hasta algún prefactor)$\mathbf{H}_B=S_z$. Por lo tanto, los estados propios de$\mathbf{H}_B$deben ser estados propios de$S_z$y por tanto también de$S^2$y, dado que los dos operadores son independientes (se relacionan con dos tipos diferentes de giros, por lo tanto, los operadores deberían conmutar mejor) también a$I^2$y$I_z$, si quieres.

El problema fundamental es que$S_z$y$F^2$no conmutar ¿Por qué? Bien:$\mathbf{F}=\mathbf{I}+\mathbf{S}$por eso$F^2=S^2+I^2+2\mathbf{S}\cdot \mathbf{I}$. Ahora$S_z$y$\mathbf{S}$no viaje, porque$S_z$no conmuta con por ejemplo$S_x$, que es parte de$\mathbf{S}$. Desde$F^2$viaja con$\mathbf{H}_{hf}$y$S_z$viaja con$\mathbf{H}_B$, pero no con$F^2$, tenemos eso$\mathbf{H}_{hf}$no viaja con$\mathbf{H}_B$. Esto significa que$\mathbf{H}_B$y$\mathbf{H}_{hf}$no puede ser diagonal en la misma base, por lo tanto, debe tener elementos fuera de la diagonal.

Para ver cómo la matriz que representa$\mathbf{H}_B$parece en el$|F^2,m_F\rangle$-base, se puede expresar el$|m_I,m_S\rangle$-base (en la que$\mathbf{H}_B$es diagonal) en términos de la otra base. Esto es exactamente lo que hacen las ecuaciones (4.21). Estos se obtienen mediante la suma ordinaria de momentos angulares. A partir de ahí, puedes construir el unitario transformando la base.$|m_I,m_S\rangle$en$|F^2,m_F\rangle$y$\mathbf{H}_B$será la matriz diagonal en la base$|m_I,m_S\rangle$conjugado con este unitario.

EDITAR: no estoy muy seguro de si entiendo correctamente cuál es su problema, pero déjeme explicarlo: queremos encontrar el hamiltoniano$\mathbf{H}_B$en el$|m_Im_S\rangle$base. En esta base, es diagonal, porque$\mathbf{H}_B$Es esencial$S_z$(por lo tanto, conmuta con$S_z$) y también debe conmutar con$I_z$desde$S_z$y$I_z$son independientes

Si ordenamos la base según$|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle,|-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle,|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle,|-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle$, entonces, podemos simplemente leer el hamiltoniano: el primer y el cuarto vector son vectores propios del valor propio$\mu B$, los demás de$-\mu B$(por definición de$S_z$, ya que el segundo componente en$|m_Im_S\rangle=|(SI)I_z,S_z\rangle$nos dice el valor propio de$S_z$que corresponde al vector base), es decir

$$\mathbf{H}_B=\begin{pmatrix}{} \mu B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\mu B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\mu B & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu B\end{pmatrix}$$ Ahora, como dije, solo tienes que cambiar la base. La matriz que transforma la base anterior en la nueva base viene dada por la ecuación. (4.21ad): $$U:=\begin{pmatrix}{} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ donde se ordena el $|Fm_F\rangle$-base es como para $\mathbf{H}$en tu texto.

ahora calcula$U\mathbf{H}_B U^{\dagger}$y eso debería darte la parte de$\mathbf{H}$procedente de$\mathbf{H}_B$en el$|F,m_F\rangle$-base y esto será exactamente lo que está escrito en su libro.

EDICIÓN 2: en cierto modo lo sospechaba, así que aquí hay más álgebra lineal para el problema. Usaré la noción de Dirac ya que sospecho que estás más familiarizado con esto:

Ahora suponga que ha dado dos bases$|e_i\rangle$y$|f_i\rangle$y supongamos que son bases ortonormales. Lo que queremos es una matriz.$U$que transforma una base en la otra (lo llamaré$U$, ya que será unitaria - si las bases no son ortonormales, solo será una matriz invertible). Entonces queremos una matriz tal que

$$|f_i\rangle:=U|e_i\rangle \qquad \forall i$$ ¿Cómo construir esta matriz? Bueno, dada una ecuación para $|f_i\rangle$en términos de $|e_i\rangle$le dará la i-ésima fila de la matriz. También puede ver los elementos de la matriz en notación de Dirac: $$\langle e_j|U|e_i\rangle=\langle e_j|f_i\rangle$$

En tu caso,$|e_i\rangle=|m_Im_S\rangle$y$|f_i\rangle=|F^2,m_F\rangle$. Por lo tanto, la ecuación (4.21a) le dará la primera fila de la matriz (el orden de los vectores base$|m_Im_S\rangle$como propuse arriba), (4.21c) el segundo (observe el ordenamiento de las bases en la matriz$\mathbf{H}$!) (4.21b) la segunda y (4.21d) la última fila de la matriz. Usando la ecuación para los elementos de la matriz anterior, debería poder verificar eso sin demasiados problemas. También puedes comprobar fácilmente que$U$es de hecho un unitario (es decir$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=\mathbb{1}$.

Entonces podemos calcular los elementos de la matriz:

$$\langle e_i |\mathbf{H}|e_j\rangle=\langle e_i|U^{\dagger}U\mathbf{H}U^{\dagger}U|e_j\rangle=\langle f_i| U\mathbf{H}U^{\dagger}|f_j\rangle$$ , que te dice cómo se ve la matriz en la otra base.