¿Qué significa que un hamiltoniano o sistema tenga o no espacios?

Esta es en realidad una pregunta muy complicada, matemáticamente. Los físicos pueden pensar que esta pregunta es trivial. Pero me lleva una hora en una escuela de verano de matemáticas explicar la noción de hamiltoniano con huecos.

Para ver por qué es complicado, consideremos las siguientes afirmaciones. Cualquier sistema físico tiene un número finito de grados de libertad (asumiendo que el universo es finito). Dicho sistema físico está descrito por una matriz hamiltoniana de dimensión finita. Cualquier matriz hamiltoniana de dimensión finita tiene un espectro discreto. Entonces, todos los sistemas físicos (o todos los hamiltonianos) están separados.

Ciertamente, lo anterior no es lo que entendemos por "hamiltoniano con huecos" en física. Pero, ¿qué significa que un hamiltoniano tenga huecos?

Dado que un sistema con espacios puede tener excitaciones sin espacios en el límite, para definir el hamiltoniano con espacios, debemos colocar el hamiltoniano en un espacio sin límites. Además, el sistema con ciertos tamaños puede contener excitaciones no triviales (como el estado líquido de espín de espín-1/2 espín en una red con un número impar de sitios), por lo que debemos especificar que el sistema tiene una cierta secuencia de tamaños como tomamos el límite termodinámico.

Así que aquí hay una definición de "hamiltoniano con brechas" en física: considere un sistema en un espacio cerrado, si hay una secuencia de tamaños del sistema$L_i$,$L_i\to\infty$como$i \to \infty$, tal que el tamaño-$L_i$sistema en espacio cerrado tiene la siguiente "propiedad de brecha", entonces se dice que el sistema tiene brechas. Tenga en cuenta que la noción de "hamiltoniano con brechas" ni siquiera se puede definir para un solo hamiltoniano. Es una propiedad de una secuencia de hamiltonianos en el límite de gran tamaño.

Aquí está la definición de la "propiedad de la brecha": Hay un fijo$\Delta$(es decir, independiente de$L_i$) tal que el tamaño-$L_i$hamiltoniano no tiene valor propio en una ventana de energía de tamaño$\Delta$. El número de estados propios por debajo de la ventana de energía no depende de$L_i$, la división de energía de esos estados propios por debajo de la ventana de energía se aproxima a cero como$L_i\to \infty$.

El número de estados propios por debajo de la ventana de energía se convierte en la degeneración del estado fundamental del sistema con brechas. Así es como se define la degeneración del estado fundamental de un estado ordenado topológicamente . Me pregunto, si alguien hubiera considerado la definición de sistema de muchos cuerpos con brechas con mucho cuidado, podría haber descubierto matemáticamente la noción de orden topológico.

Gapped o gapless es una distinción entre espectros continuos y discretos de excitaciones de baja energía. Para un hamiltoniano$H$con espectro abierto, el primer estado excitado tiene un valor propio de energía$E_1$que está separado por un desnivel$\Delta > 0$del estado fundamental$E_0$. Por ejemplo, una relación de dispersión de la forma$E = |k|$es un ejemplo de un espectro sin espacios (continuo), mientras que$E = \sqrt{k^2 + m^2}$es un ejemplo de uno con huecos.$k$denota el vector de onda y puede ser cualquier número real.$m$es la masa que en este caso es la causa de la brecha.

Esta distinción conduce a una diferencia cualitativa en el comportamiento físico de los sistemas con y sin derivación; lo que es más importante, determina si un material es un conductor o un aislante. Hay procesos bastante fascinantes que pueden dar lugar a una brecha, como las interacciones (ejemplos interesantes son la brecha de masa en la teoría de Yang-Mills o la brecha en la superconductividad BCS).

Gaped y gapless suelen ser atributos para los hamiltonianos de muchos cuerpos. Un hamiltoniano con huecos es simplemente uno para el que hay un hueco distinto de cero entre el estado fundamental y el primer estado excitado.

Un breve comentario para la parte "editada" de su pregunta (ya sea que haya una brecha en la cadena XX o no). La cadena de espín XX en un campo magnético, es decir, el modelo definido por el hamiltoniano

se abre cuando$|h| > 1$. Este no es un resultado muy difícil, sale inmediatamente si haces la habitual Jordan-Wigner y una transformación de Fourier al estilo del famoso artículo de Lieb, Schultz y Mattis (Ann. Phys. 16, 407, (1961)) (aunque he aquí el$\sigma^{z}_i$faltan términos, pero no son difíciles de incorporar).

Solo me gustaría agregar un poco a estas respuestas a la luz de la edición de la pregunta que presenta "XX Spin Chains" como contexto para esta pregunta. He encontrado un Tutorial sobre Spin Chains aquí . Básicamente son N giros en una línea. Aquí está el hamiltoniano de ese artículo donde N=2.

$H_{12}=J/4(\sigma_1^x\sigma_2^x+\sigma_1^y\sigma_2^y+\sigma_1^z\sigma_2^z - I \times I)$

Dependiendo del signo de J, tiene 3 soluciones fundamentales degeneradas, más una solución excitada o una solución fundamental. Este es un modelo básico de estados ferromagnéticos/antiferromagnéticos. En este caso las soluciones tienen un hueco. Todavía tendrán un hueco para el general N.

Sin embargo, muchos desarrollos de este modelo en gran medida integrable han ocurrido en documentos recientes, por ejemplo, con un campo magnético continuo aplicado. En algunos de estos casos, el modelo puede no tener espacios. También está la cuestión de qué implica el modelo en el límite termodinámico.$N \rightarrow \infty$.