Construcción de álgebra SUSY mediante estructura de índice

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Construcción de álgebra SUSY mediante estructura de índice

zzz

A menudo, en la literatura, el álgebra SUSY simplemente se da, pero varios libros, por ejemplo, Bailin and Love , se toman la molestia de mostrar cómo las relaciones de conmutación SUSY son las únicas posibles que se pueden escribir. Este es el contenido de mi pregunta.

SUSY agrega dos generadores de espinores al álgebra de Poincaré, nuestra lista completa de generadores está dada por los componentes independientes de

{METRO}^{m v}, {PAG}^{m}, q_{α}, {\bar{q}}_{\dot{β}}

$M^{\mu\nu}, P^\mu, Q_\alpha, \bar{Q}_{\dot\beta}$ Donde los dos primeros son los generadores habituales de Lorentz y de traducción, los dos últimos son los generadores de espinor agregados.

Entre otras cosas, Bailin and Love hace declaraciones como:

$[P^\mu,Q_\alpha]$ debe producir un espinor, la única posibilidad es $c \sigma^\mu _{\alpha\dot\beta}\bar Q^\dot\beta$ .

Dónde $c$ es una constante y $\sigma^\mu=(I,\sigma^i)$ . Luego pasan a mostrar que la identidad de Jacobi implica $c=0$ .

La declaración citada no es obvia para mí, en particular, no puedo entender completamente por qué la expresión escrita arriba es la única relación de conmutación posible.

Permítanme hacer esto un poco más específico:

De Bailin y Love, así como de otra literatura pedagógica, parece que la estructura constante debe ser alguna combinación de $C, σ_{α \dot{β}}^{m}, σ_{α β}^{m v}$ $c,\sigma^\mu_{\alpha \dot\beta},\sigma^{\mu\nu}_{\alpha\beta}$ Donde el último símbolo son los generadores SL(2) habituales construidos a partir de Paulis. Quiero saber por qué estas son las únicas cosas que uno puede escribir. En particular, ¿no se pueden construir otras matrices que tengan la misma estructura de índice? ¿Es que estas son las cosas más generales con estas estructuras de índice, o es que están fijadas por simetría?
Restringiéndome a construir las constantes de estructura a partir de lo que escribí anteriormente, pude verificar que, como se afirma, la estructura de índice de los conmutadores de interés fija constantes de estructura únicas (hasta un factor de escala). Sin embargo, verifiqué esto por agotamiento, ¿hay una forma sistemática de encontrar estas combinaciones?
Resultó que todos los conmutadores produjeron una combinación lineal de un tipo de generador: por ejemplo, en la declaración citada, el resultado es una suma de generadores de espinor diestros. ¿El resultado de que los conmutadores produzcan combinaciones lineales de un solo tipo de generador es general? ¿O es solo un efecto secundario de la unicidad de la forma de la constante de estructura fijada por la estructura del índice, como se menciona en el punto 2?

Respuestas (2)

Construcción de álgebra SUSY mediante estructura de índice

qmecanico · Answer 1

Esta respuesta está reformulando principalmente la respuesta correcta de Trimok en otras palabras.

Se supone que el grupo super-Poincare es una extensión del grupo Poincare, que contiene el grupo Lorentz y las traducciones. Complejaremos el grupo de Lorentz. el grupo de la mentira $G:=SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ es (isomorco a la doble cubierta de) el grupo complejo de Lorentz $SO(1,3;\mathbb{C})$ , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Este hecho da lugar a los irreps sin punto y con punto . Un irrep $(s,\dot{s})$ de $G$ se caracteriza por dos semienteros no negativos $s,\dot{s}\in \frac{1}{2}\mathbb{N}_0$ .
El conmutador investigado $[P_{\beta\dot{\beta}}, Q_{\alpha}]$ pertenece a una representación del producto tensorial de $G$ ,
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \otimes (\frac{1}{2}, 0) ≅ (\frac{1}{2}, 0)^{\otimes 2} \otimes (0, \frac{1}{2})$ $(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \otimes (\frac{1}{2},0) ~\cong~(\frac{1}{2},0)^{\otimes 2}\otimes (0,\frac{1}{2})$ $\begin{matrix} (1) & ≅ [(0, 0) \oplus (1, 0)] \otimes (0, \frac{1}{2}) ≅ (0, \frac{1}{2}) \oplus (1, \frac{1}{2}), \end{matrix}$ $\tag{1}~\cong~[(0,0)\oplus(1,0)]\otimes (0,\frac{1}{2}) ~\cong~(0,\frac{1}{2})\oplus (1,\frac{1}{2}),$ que nosotros, a su vez, hemos descompuesto en irreps.
De los 14 generadores super-Poincaré $t_a$ , solo el dublet $\bar{Q}_{\dot{\gamma}}$ se transforma en una de las dos irreps de la derecha. de la ec. (1), a saber, el primer irrep $(0,\frac{1}{2})$ . Si quisiéramos que el superálgebra de Poincaré se cerrara en los 14 generadores $t_a$ sin introducir nuevos generadores; en particular, si queremos que el conmutador investigado
$\begin{matrix} (2) & [{PAG}_{β \dot{β}}, q_{α}] \in s pag a norte (t_{a}), \end{matrix}$ $\tag{2}[P_{\beta\dot{\beta}}, Q_{\alpha}]~\in~ {\rm span}(t_a),$ entonces el primer irrep $(0,\frac{1}{2})$ en el derecho. de la ec. (1) debe ser proporcional a $\bar{Q}_{\dot{\gamma}}$ , y el segundo irrep $(1,\frac{1}{2})$ debe ser aniquilado.

Esta fue una gran respuesta, gracias. Acepté la respuesta de Trimok por el hecho de que él fue el primero, pero esto fue muy útil, gracias.

Trimok · Answer 2

Quizá sea más sencillo considerar todos los generadores como representaciones de $SL(2,C)$ , entonces, usando índices de spinor, tendrás: $M^{\alpha \dot \alpha \beta \dot \beta}, P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha, \bar Q^\dot\beta$

Los índices suben y bajan con los símbolos de Levi-Civita $\epsilon_{\alpha \beta}, \epsilon^{\alpha \beta},\epsilon_{\dot \alpha \dot \beta},\epsilon^{\dot \alpha \dot \beta}$

Ahora, ¿qué es $[P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha]$ ?

Vemos que no hay ningún generador con la forma $G^{\beta \dot \beta}_\alpha$ .

Los símbolos de Levi-Civita tampoco son útiles, porque tienen $2$ índices inferior o superior del mismo tipo, por lo que no podemos escribir algo como $[P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha] = \epsilon_{\alpha \beta}Q^\dot\beta$ (habría un problema obvio con el $_\beta$ índice).

Entonces la única solución es una contracción en los índices $\alpha$ y $\beta$ , eso es :

$[P^{\beta \dot \beta}, Q_\alpha] = \delta_{\alpha} ^{\beta} \bar Q^\dot\beta$

Con $P^\mu = \sigma^\mu_{\beta \dot \beta}P^{\beta \dot \beta}$ , (lo que significa simplemente que el $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ representacion de $SL(2,C)$ es equivalente a la representación fundamental de $SO(3,1)$ ) obtenemos finalmente:

$[P^\mu, Q_\alpha] = \sigma^\mu_{\beta \dot \beta}\delta_{\alpha} ^{\beta} \bar Q^\dot\beta = \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \bar Q^\dot\beta$

Gracias un montón. Todavía estoy un poco confundido con mi primera pregunta: en este caso, ¿son el símbolo de Levi-Civita y la identidad los únicos tensores que se transforman como tensores con 2 índices espinores?
El símbolo de Levi-Civita es la única cantidad que se transforma como una representación con $2$ índices de espinor inferior o superior del mismo tipo: $\epsilon_{\alpha \beta}, \epsilon^{\alpha \beta},\epsilon_{\dot \alpha \dot \beta},\epsilon^{\dot \alpha \dot \beta}$ . "Identidad" es una cantidad $\delta^a_b$ o $\delta^\dot a_\dot b$ , por lo que tiene un índice superior y uno inferior del mismo tipo. El impulso se transforma como $P^{\beta \dot \beta}$ o $P_{\beta \dot \beta}$ (si bajas los índices), entonces tienes $2$ índices inferiores o superiores de diferente tipo.
Esta es probablemente una pregunta tonta, pero ¿puede señalarme algún lugar que muestre su primera oración, que el símbolo de Levi-Civita es el único tensor que podemos construir que se transforma como se muestra?
Los símbolos de Levi-Civita son las métricas de spinor (usadas para subir y bajar índices). Independientemente de las métricas, las únicas operaciones posibles son contracciones sobre índices idénticos (uno inferior y otro superior del mismo tipo), y los generadores. No hay otra posibilidad.

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