Teorema de Wigner-Eckart de SU(3)

Hay muchos métodos para calcular los elementos de la matriz de un generador de álgebra de Lie simple en una representación dada. Para el problema que nos ocupa, intentaré describir dos métodos con bastante detalle y esbozar otros dos métodos.

Los cálculos individuales en realidad involucran álgebra lineal elemental y combinatoria, pero son bastante largos. Por ejemplo, para obtener todos los elementos de la matriz en la representación adjunta, se necesita$8 \times 8 \times 8$cálculos

Método 1

La representación adjunta (por definición) se puede realizar de manera que los elementos de la matriz con respecto a alguna base ortonormal sean las constantes de estructura

$\langle u_b | T_a | u_c\rangle = f^a_{bc}$

Método-2

En$SU(3)$, la representación adjunta se da en el producto tensorial de la representación fundamental y su dual:

$3\otimes\bar{3}\rightarrow 8 \oplus 1$

Es habitual utilizar los nombres de quark y antiquark para los vectores base.

la representación fundamental:$u : (1,0), d : (-1, 1), s : (0, -1)$

es dual$\bar{u} : (-1,0), \bar{d} : (1, -1), \bar{s} : (0, 1)$

Los pesos de la representación adjunta vienen dados por: (consulte la ecuación (5.4) de la página 32 de Slansky )

$v_1 : (1,1), v_2 : (-1,2), v_3 : (2,-1), v_4 : (0,0), v_5 : (0,0), v_6 : (1,-2), v_7 : (-2,1), v_8 : (-1,-1)$

Mientras que, para los pesos distintos de cero, solo hay una opción para construir el producto tensorial:

$v_1 = u \otimes \bar{s}$

$v_2 = d \otimes \bar{s}$

$v_3 = u \otimes \bar{d}$

$v_6 = s \otimes \bar{d}$

$v_7 = d \otimes \bar{u}$

$v_8 = s \otimes \bar{u}$

El subespacio de peso cero está atravesado por$u \otimes \bar{u}$,$d \otimes \bar{d}$,$s \otimes \bar{s}$, pero sabemos por la descomposición del producto tensorial que los vectores de peso en este subespacio deben ser ortogonales al escalar$u \otimes \bar{u} + d \otimes \bar{d} + s \otimes \bar{s}$, así podemos elegir:

$v_4 = \frac{u \otimes \bar{u} - d \otimes \bar{d}}{\sqrt 2}$

$v_5 = \frac{u \otimes \bar{u} + d \otimes \bar{d} -2 s \otimes \bar{s}}{\sqrt 6}$

Ahora, los generadores del álgebra de Lie sobre el producto tensorial tienen la forma:

$T^a = T_{3}^a \otimes I + I \otimes T_{\bar{3}}^a$,

donde, la acción sobre la representación fundamental es a través de las matrices de Gell-mann

$T_{3}^a = \lambda^a$

y la acción sobre el dual es por medio de la transpuesta negativa (no el conjugado hermitiano):

$T_{\bar{3}}^a = -{\lambda^a}^t$

Ahora, estamos en condiciones de calcular los elementos de la matriz, por ejemplo:

$\langle v_1 | T^3 | v_3\rangle = -\langle u \otimes \bar{s} | \lambda^3 \otimes I + I \otimes{ \lambda^3}^t | u \otimes \bar{d} \rangle = - \langle \bar{s} | { \lambda^3}^t |\bar{d} \rangle$

Es decir, uno puede calcular los elementos de la matriz en la representación adjunta en términos de los elementos de la matriz en la representación fundamental y su dual.

Cabe recalcar que las matrices obtenidas por este método muy probablemente serán diferentes a las obtenidas en el primer método pero serán unitariamente equivalentes.

Método-3

La base del espacio de representación adjunto se puede escribir en términos de 8 cuadros de Young en los que la primera fila es de longitud 2 y la segunda fila de longitud 1. Este método permite escribir los elementos de la matriz en términos de los elementos de la matriz de un triple producto tensorial de la representación fundamental. Sin embargo, no elaboraré un ejemplo aquí.

Método-4

Los elementos de la matriz en la base de Cartan-Weyl se pueden calcular en principio a partir del diagrama de pesos.