¿Pueden contradecirse la ecuación de continuidad y la de Bernoulli?

Tenga paciencia conmigo: soy un matemático no practicante y estoy estudiando estos conceptos por mi cuenta.

Una pregunta dice lo siguiente:

Por un tubo de 5 m de diámetro fluye agua a una velocidad de 10 m/s. Luego fluye hacia un tubo más pequeño de 2 m de diámetro. La altura entre el centro de las secciones de tubería es de 5 m. Se supone que la densidad es uniforme en las secciones transversales. La presión manométrica en el límite 1 es de 120 kPa. Calcule la velocidad en la sección de tubería más pequeña.

No hay ninguna razón que pueda ver para asumir que la continuidad del flujo másico no se aplica, y usando v 1 A 1 = v 2 A 2 Se obtiene v 2 = 62.5 EM. Sin embargo, usando la ecuación de Bernoulli y asumiendo presión atmosférica en la sección más pequeña, se obtiene

pag 1 ρ + 1 2 v 1 2 + + gramo z 1 = pag 2 ρ + 1 2 v 2 2 + gramo z 2
120 + 50 + 5 gramo = 0 + 1 2 v 2 2 + 0
v 2 = 20.93 ,
y de hecho esto es lo que da la respuesta del libro de texto. Estoy bastante confundido en cuanto a por qué la continuidad de masa se aplica en otras situaciones, incluso con cambios en la presión, pero no parece aplicarse aquí.

Mi pregunta es: ¿ esta pregunta de libro de texto está mal planteada? Siento que al proporcionar demasiada información sobre la sección de la tubería sin verificar los cálculos, la pregunta está destinada a crear una contradicción. Los diámetros de 5 m/2 m en realidad no llegan a la respuesta final.

EDITAR : He agregado a continuación la única respuesta con la que estoy satisfecho que tiene sentido para los datos. Por favor corrígeme como mejor te parezca.

Me parece que usarías la continuidad para calcular la velocidad en la tubería más pequeña y luego Bernoulli para calcular la presión correspondiente. De la descripción del problema no hay indicación de que la tubería más pequeña esté necesariamente a presión atmosférica.
FYI: La continuidad es como las leyes de la termodinámica, pero para la dinámica de fluidos, si su modelo no la sigue, lo más probable es que su modelo sea incorrecto.
Gracias por el comentario. A la luz de esta pregunta , he notado que una velocidad de 62.5 m/s a la salida conduce a una presión de − 1734 kPa. No estaba al tanto de usar la idea de la formación de cavitación a una presión de aproximadamente − 1 atm, por lo que teniendo eso en cuenta, la velocidad alcanza su punto máximo aproximadamente 25.3 m/s a la salida. Si se produce la cavitación, es imposible que la tubería superior esté llena, lo que reduce el área de la sección transversal y, por lo tanto, garantiza que se mantenga la continuidad.
Todavía no estoy 100% seguro de tener la idea correcta, pero a menos que haya otras respuestas próximas hoy, podría intentar desarrollar esta respuesta completamente a continuación para que otros la corrijan o la comenten...
¿Ha considerado que la presión en la entrada de la tubería más grande se da como una presión manométrica?
Sí, he trabajado con presión manométrica a lo largo de la pregunta.

Respuestas (1)

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Suponemos que el agua es incompresible por lo que ρ = constante = 1000  kg m − 3 . Usando continuidad de masa y asumiendo que ambas tuberías están llenas,

v 1 A 1 = v 2 A 2
10 ⋅ π ( 2.5 ) 2 = v 2 ⋅ π ( 1 ) 2
v 2 = 62.5  EM − 1
Sin embargo, podemos verificar la presión manométrica resultante en el segundo límite usando Bernoulli y encontrar
120 + 1 2 ( 10 ) 2 + 5 gramo = pag 2 1000 + 1 2 ( 62.5 ) 2 + 0
170 + 5 gramo = pag 2 1000 + 1953.125
pag 2 = − 1734  kPa
Esto es imposible sin que ocurra la cavitación. Podemos proceder de una de dos maneras: o la suposición de que ambas tuberías están llenas es errónea y la tubería superior más grande debe estar parcialmente llena, o las burbujas de aire formadas por la cavitación, al ser más livianas que el agua, ascenderán a la tubería superior. Ambos tienen efectivamente el mismo resultado: el tubo superior solo puede estar parcialmente lleno.

Asumimos que la cavitación ocurre en la barrera dura y baja de − 101 kPa (manométrica) en el segundo límite. Entonces

120 + 1 2 ( 10 ) 2 + 5 gramo = − 101 + 1 2 ( v 2 ) 2 + 0
v 2 = 25.3  EM − 1
Volviendo a la continuidad de masa, asumiendo que la tubería inferior está llena, 10 A 1 = 25.3 ⋅ π ( 1 ) 2 y por lo tanto A 1 = 7.95  metro 2 . Con un poco de geometría, esto se traduce en una profundidad de 2.12 m en el tubo superior - justo por debajo de la mitad.

¿Pueden contradecirse la ecuación de continuidad y la de Bernoulli?
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