Relación entre la ecuación de continuidad y la ecuación de onda

La ecuación de onda se puede escribir como$\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$dónde$\nabla$es la conexión de Levi-Civita en el espacio de Minkowski,$\varphi$no necesita ser invariante de Lorentz.$\partial_i\partial^i\varphi = 0$es la ecuación de Laplace tanto en el espacio de Minkowski como en el de Euclides, ya que las derivadas parciales ordinarias no respetan la métrica.

En (pseudo) geometría de Riemann, la derivada covariante$\nabla_i$reemplaza parciales$\partial_i$. El operador de Laplace-Beltrami

$$\Delta \triangleq \nabla^i\nabla_i$$ es una generalización común tanto del D'Alembertiano como del Laplaciano, $$\Delta \varphi = 0$$ es la ecuación de Laplace-Beltrami.

Luego, su observación se generaliza para decir que, para el campo escalar, un operador de Laplace-Beltrami que se desvanece es lo mismo que un gradiente contravariante libre de divergencia. Esto es universalmente válido ya que

$$\Delta \varphi = \nabla^i\nabla_i\varphi = g^{ij}\nabla_i\nabla_j\varphi= \nabla_i\nabla^i\varphi$$ No depende de la métrica ni del sistema de coordenadas. Sin embargo, el significado geométrico preciso de esto depende de la métrica.

En espacios euclidianos, significa que una función es armónica si tiene un gradiente libre de divergencia, ya que el operador de Laplace-Beltrami es solo el laplaciano.

En el espacio de Minkowski, el operador de Laplace-Beltrami es el D'Alembertiano, y la ecuación de Laplace-Beltrami se convierte en la ecuación de onda. En el espacio de Minkowski, las derivadas covariantes son simplemente derivadas parciales ordinarias, como en el espacio euclidiano, ya que no hay curvatura, lo que hace que los símbolos de Christoffel desaparezcan. Además para escalares

$$\nabla_i \varphi = (d\varphi)_i = \partial_i\varphi$$ es cierto en todas las métricas. Sin embargo, la derivada contravariante $\nabla^i\varphi$no es el vector de gradiente habitual ya que el aumento del índice depende de la métrica. Por lo tanto, el gradiente se considera más naturalmente como un covector o una forma 1. Geométricamente, los vectores de gradiente de Minkowski son los reflejos temporales de lo que serían los vectores de gradiente euclidianos. Sin embargo, no tengo una buena imagen intuitiva de las derivadas contravariantes y sus divergencias en espacios generales no euclidianos.

Tenga en cuenta que para

$$\varphi \triangleq t^2 + x^2$$ en el espacio euclidiano $$\nabla_i\nabla^i\varphi = 4$$ mientras que en el espacio de Minkowski $$\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$$ por lo que es una solución a la ecuación a pesar de que no es invariante de Lorentz.

---

Un campo vectorial general$J^i$puede satisfacer$\nabla_i J^i = 0$, pero todavía tiene un rizo distinto de cero o, en general,$\nabla_{[i} J_{j]} \neq 0$. Tal campo no es un gradiente de un campo escalar. así que al menos$\nabla_{[i} J_{j]} = 0$se requiere. El lema de Poincaré dice que esto es suficiente para campos en subconjuntos contráctiles del espacio euclidiano.