Invariancia traslacional que implica representación diagonal en el espacio de momento

Esta es solo una propiedad de las transformaciones de Fourier. Si la función de correlación es invariante traslacional, entonces, por definición, la representación del espacio de posición$D(x,y)$se transforma como$D(x+a,y+a) = D(x,y)$para cualquier constante$a$. De este modo$D(x,y) = D(x-y,0)$y así el correlador depende sólo de la diferencia$x-y$. Para simplificar, definiremos$D(x-y) = D(x-y,0)$. Transformada de Fourier esto sobre ambos$x$y$y$y lo encontrarás en diagonal en el espacio de momento. Por ejemplo, en una dimensión,

$$\begin{eqnarray} \tilde{D}(p,q) &\sim& \int dx dy e^{ipx + iqy} D(x-y)\\ &=& \int du dy e^{ipu} e^{i(p+q)y} D(u) \\ &\sim& \tilde{D}(p) \delta(p+q) \end{eqnarray}$$

donde estoy descuidando hacer un seguimiento de las constantes. El resultado es una diagonal en el espacio de cantidad de movimiento en virtud de la función delta, lo que hace cumplir$q=-p$.

El hecho de que el sistema sea traduccionalmente invariante implica que el operador de traducción conmuta con el hamiltoniano. Esto implica que tienen una base de estados propios mutuos. Dado que el operador de cantidad de movimiento genera las traslaciones, es decir

$$T =e^{-\imath x p}$$ un estado es un estado propio del operador de traducción si y solo si es un estado propio del operador de cantidad de movimiento.

Supongo que lo que se debe notar aquí es el hecho de que, la función de correlación (operador), conmuta con el operador de impulso, ya que

$$[D,\text e^{ixp}] = 0 \implies [D,p] = 0$$

Siendo ese el caso, uno puede recordar que cualquier operador representado en su propio espacio propio es diagonal debería responder a su pregunta.

PD: no estoy completamente seguro de la pregunta (respuesta), así que esta es solo mi perspectiva

Para ampliar la respuesta dada por @By Symmetry, defina la función de dos puntos como

$$f(x_1,x_2)=\langle\Omega|\, \phi(x_1)\phi(x_2)\,|\Omega\rangle.$$ Para que lo anterior sea invariante traslacionalmente, se debe requerir que $$\langle\Omega|\,\left[P, \phi(x_1)\phi(x_2)\right]\,|\Omega\rangle = 0$$ dónde $P$es el generador de las traslaciones definidas como un grupo unitario de un parámetro. En general, esto no requiere que el conmutador sea siempre cero (solo requiere que sea así en el estado de vacío); sin embargo, si desea que esta relación se mantenga en todos los estados $|\psi\rangle$entonces el conmutador siempre siendo cero implica que $P$y $\phi(x_1)\phi(x_2)$tener un conjunto de estados propios comunes donde podrían ser diagonalizados simultáneamente.