¿La colisión inelástica dice que la pelota rebota hacia ti cuando se lanza en ángulo sobre el suelo?

Para una simulación plana 2D con fricción cero, haga lo siguiente

Definiciones

• Cada cuerpo tiene 3 grados de libertad. Estos son$(x_1,y_1,\theta_1)$y$(x_2,y_2,\theta_2)$definido en el centro de masa.
• Cada cuerpo tiene masa y momento de inercia de masa. Estos son$m_1$,$m_2$y$Iz_1$,$Iz_2$.
• El contacto está en el punto A con coordenadas$(x_A,y_A)$y con dirección normal desde el ángulo$\psi$(medido CCW desde +x).
• El coeficiente de restitución es$\epsilon$

Representación

• La velocidad de cada cuerpo antes del impacto se define con un vector 3×1 (en coordenadas planas de tornillo en el origen) $$\begin{aligned} v_1 &= \begin{pmatrix} \dot{x}_1 + \dot{\theta}_1 y_1 \\ \dot{y}_1 - \dot{\theta}_1 x_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} & v_2 &= \begin{pmatrix} \dot{x}_2 + \dot{\theta}_2 y_2 \\ \dot{y}_2 - \dot{\theta}_2 x_2 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

• La dirección normal de contacto (fuerza) es

  $$n = \begin{pmatrix} \cos \psi \\ \sin\psi \\ x_A \sin\psi - y_A \cos \psi \end{pmatrix}$$ _{Tenga en cuenta que la velocidad del cuerpo 1 en el punto de contacto, a lo largo de la normal de contacto se encuentra por$n \cdot v_1 = n^\top v_1 = (\dot{x}_1+\dot{\theta}_1 (y_1-y_A))\cos\psi + (\dot{y}_1-\dot{\theta}_1 (x_1-x_A))\sin\psi$}

• La matriz de inercia inversa para cada cuerpo es

$$\begin{aligned}I_{1}^{-1} & =\begin{vmatrix}\frac{1}{m_{1}}+\frac{y_{1}^{2}}{Iz_{1}} & -\frac{x_{1}y_{1}}{Iz_{1}} & \frac{y_{1}}{Iz_{1}}\\ -\frac{x_{1}y_{1}}{Iz_{1}} & \frac{1}{m_{1}}+\frac{x_{1}^{2}}{Iz_{1}} & -\frac{x_{1}}{Iz_{1}}\\ \frac{y_{1}}{Iz_{1}} & -\frac{x_{1}}{Iz_{1}} & \frac{1}{Iz_{1}} \end{vmatrix} & I_{2}^{-1} & =\begin{vmatrix}\frac{1}{m_{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{Iz_{2}} & -\frac{x_{2}y_{2}}{Iz_{2}} & \frac{y_{2}}{Iz_{2}}\\ -\frac{x_{2}y_{2}}{Iz_{2}} & \frac{1}{m_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{Iz_{2}} & -\frac{x_{2}}{Iz_{2}}\\ \frac{y_{2}}{Iz_{2}} & -\frac{x_{2}}{Iz_{2}} & \frac{1}{Iz_{2}} \end{vmatrix}\end{aligned}$$

Impacto elástico

• La velocidad de impacto (escalar) es

  $$v_{imp} = -n^\top (v_2-v_1)$$

• La masa efectiva inversa (escalar) a lo largo del contacto de cada cuerpo es

  $$\begin{aligned}\mu_{1}^{-1} & =n^{\top}I_{1}^{-1}n & \mu_{2}^{-1} & =n^{\top}I_{2}^{-1}n\end{aligned}$$

• El impulso que actúa sobre el cuerpo 2 es

  $$\boxed{ J = \frac{(1+\epsilon)\;v_{imp}}{\mu_{1}^{-1}+\mu_{2}^{-1}} }$$

• El impacto$J$actuando junto$n$cambia el movimiento de cada cuerpo por

  $$\begin{aligned}\Delta v_{1} & =-I_1^{-1} n\,J & \Delta v_{2} & =I_2^{-1} n\,J\end{aligned}$$

• Los cambios en el movimiento se transfieren de vuelta al centro de masa (cambio en) las velocidades$\Delta \dot{x}_1$,$\Delta \dot{y}_1$y cambio de giro$\Delta \dot{\theta}_1$resolviendo la siguiente definición

$$\begin{aligned} \Delta v_1 &= \begin{pmatrix} \Delta \dot{x}_1 + \Delta \dot{\theta}_1 y_1 \\ \Delta \dot{y}_1 - \Delta \dot{\theta}_1 x_1 \\ \Delta \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} & \Delta v_2 &= \begin{pmatrix} \Delta \dot{x}_2 + \Delta \dot{\theta}_2 y_2 \\ \Delta \dot{y}_2 - \Delta \dot{\theta}_2 x_2 \\ \Delta \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Paso de impacto

• La velocidad final en el centro de masa se cambia de los valores de paso

$$\begin{aligned}\dot{x}_{1} & \leftarrow\dot{x}_{1}+\Delta\dot{x_{1}} & \dot{x}_{2} & \leftarrow\dot{x}_{2}+\Delta\dot{x_{2}}\\ \dot{y}_{1} & \leftarrow\dot{y}_{1}+\Delta\dot{y_{1}} & \dot{y}_{2} & \leftarrow\dot{y}_{2}+\Delta\dot{y_{2}}\\ \dot{\theta}_{1} & \leftarrow\dot{\theta}_{1}+\Delta\dot{\theta_{1}} & \dot{\theta}_{2} & \leftarrow\dot{\theta}_{2}+\Delta\dot{\theta_{2}} \end{aligned}$$

No. El impulso aún se conserva. En particular, se conserva la componente del impulso paralela al suelo. Entonces, si la pelota va hacia la derecha antes de tocar el suelo, seguirá yendo hacia la derecha después.

La fórmula a la que te refieres es para colisiones unidimensionales . Eso se aplica solo si los elementos están dispuestos de modo que realmente haya movimiento en una sola dimensión. Tus dos bolas se desviarían una de la otra porque golpean fuera del centro. Cada uno de ellos comenzaría a moverse parcialmente en la dirección vertical, con componentes iguales de impulso en la dirección vertical.