Conservación de la energía mecánica en un marco móvil

¿O el movimiento del resorte inicial afecta de alguna manera la cantidad de energía que puede transmitir a la pelota?

El movimiento del carro pesado también debe incluirse en el cálculo. Durante el lanzamiento de la pelota, el carro pesado se mueve y ejerce una fuerza en la dirección del movimiento sobre el resorte, por lo tanto, se realiza trabajo sobre el resorte. Entonces, la fuerza agrega energía al resorte que luego se transfiere a la bola. Entonces, la energía mecánica total entregada al resorte receptor aumenta con el aumento de la velocidad del carro pesado. La fórmula que escribiste para la energía va por buen camino, pero está incompleta.

Por supuesto, asumo que aquí no están involucradas fuerzas de arrastre o fuerzas de fricción. Inicialmente, mientras el carro se mueve a una velocidad$v$, la pelota posee energía de$\frac{1}{2}mv^2$.

Junto con el potencial elástico de la energía de$\frac{1}{2}kx_1^2$, la suma de esta energía se convertirá en energía cinética de la bola en movimiento, que luego se convierte en energía potencial elástica del segundo resorte.

La ecuación debe ser la siguiente:$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}kx_2^2$

Sin embargo, es erróneo calcular la cantidad de velocidad que el resorte impartiría a la pelota y luego sumarla con la velocidad del carro (también la velocidad de la pelota). Este método solo puede funcionar si la pelota está inicialmente estacionaria, lo que significa que la pelota también está estacionaria. La energía es proporcional a$v^2$, para aumentar cada objeto en$1ms^{-1}$, requiere más energía cada vez. Por lo tanto, no podemos hacerlo de esa manera.

En la mecánica newtoniana, la energía mecánica total no es independiente del marco. Si calcula la energía del sistema bola/carro/resorte/resorte en el marco de descanso de las paredes de la habitación, obtiene un valor. Si lo calculas en el marco de descanso del carrito obtienes un valor diferente. Eso significa que no puede usar directamente la energía calculada en el marco del carro como el valor en el marco de las paredes de la habitación.

Si desea utilizar la energía mecánica del marco del carro, debe darse cuenta de que el resorte unido a la pared se mueve hacia la bola, lo que afecta la compresión máxima del resorte.

Un experimento mental: estás en un tren que se mueve a 10 m/s, y dentro hay un objeto de 1 kg que avanza a 10 m/s con respecto al tren. Dentro del tren, calculas que su energía cinética es de 50 J. Cuando estaba en reposo con respecto al tren, un observador externo también le habría dado 50 J. Pero ahora, el observador externo calcula que su energía es de 200 J ( no 50+50). No se puede sumar energía así.

Un resorte en reposo imparte una energía de$\frac12 k x^2$a un objeto, que se calcula integrando la fuerza sobre una secuencia de distancias infinitesimales. Pero cuando se mueve, el resorte ejerce esas mismas fuerzas sobre distancias más largas , por lo que realiza más trabajo e imparte más energía. Una vez más, sumar la energía del 'marco de inercia' y de lo que suceda en reposo dentro de ese marco conduce a un resultado erróneo.

Por lo tanto, tu intuición estaba equivocada: tienes que sumar las velocidades, no las energías. Puede preguntar de dónde proviene la energía adicional (tanto en su experimento como en el del tren). Proviene del vehículo, que ejerce una fuerza en un lado del resorte y, por lo tanto, realiza un trabajo. Si tiene una masa finita, disminuirá un poco la velocidad y donará parte de su energía cinética al objeto. Si su masa es infinita, su energía cinética también disminuye en esa cantidad, de infinito a infinito.

Si desea utilizar la conservación de la energía mecánica, utilice en su lugar el teorema de la energía del trabajo porque los principios de conservación dependen del marco, pero el teorema de la energía del trabajo es independiente del marco.