Energía extra en sistemas de doble masa-resorte

Debe analizar ambas masas juntas como un solo sistema SHM; no puede dividirlas en dos componentes SHM independientes.

Supongamos que comenzamos con el resorte en su longitud natural y movemos la masa$m$a la izquierda por una distancia$x_1$y masa$M$a la derecha por una distancia$x_2$. La fuerza que el resorte ejerce sobre ambas masas es ahora$k(x_1+x_2)$. Así que si movemos masa$m$de$x_1=0$a$x_1=A_1$y movemos masa$M$de$x_2=0$a$x_2=A_2$entonces la energía total almacenada en el resorte es

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

dónde$y=x_1+x_2$, y

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

por lo que no hay "energía extra".

Cuando soltamos las masas la ecuación de movimiento de masa$m$es

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

y para masa$M$es

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

Sumando estos juntos obtenemos

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

dónde$k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, y$y(0) = x_0$,$\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Entonces

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Similarmente

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Cuando el resorte vuelve a su longitud natural,$y=0$y$\cos \sqrt{k'}t = 0$entonces$\sin \sqrt{k'}t = 1$. Entonces la energía cinética del sistema es

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

En otras palabras, toda la energía potencial almacenada en el resorte se convirtió en energía cinética, como se esperaba.

Dejar$x$sea ​​la magnitud del desplazamiento máximo desde su posición de equilibrio de masa$m$y$X$sea ​​la magnitud del desplazamiento máximo desde su posición de equilibrio de masa$M$.

La conservación de la cantidad de movimiento del sistema requiere$m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.

Para este sistema, la frecuencia natural de oscilación viene dada por$\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.

La energía cinética máxima del sistema es$\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.

Poniendo el valor de$\omega^2$y multiplicando da la energía cinética como

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.

Es posible hacer un análisis más general para mostrar que la energía total del sistema es constante.