¿Cómo es la conservación de la energía y el teorema de Noether una declaración no trivial?

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¿Cómo es la conservación de la energía y el teorema de Noether una declaración no trivial?

Física
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el_simpatizante

El teorema de Noether dice que la conservación de la energía es el resultado de la simetría de traslación temporal de las leyes de la física. Se supone que esto es, y no digo que no lo sea, una declaración muy no trivial. Entonces, ¿cómo es que no parece tan trivial cuando tratamos de formalizar esta declaración informal de la siguiente manera aparentemente muy natural e intuitiva?

Para dar sentido formalmente a la declaración reivindicada, necesitamos dar sentido a dos cosas: qué es una "ley de la física" y qué es la "simetría de traducción temporal". Y las matemáticas teóricas parecen proporcionar una respuesta bastante clara para la primera: lo que se llama un sistema dinámico.

Un sistema dinámico es un triple $(M, T, \Phi)$ que consiste en un conjunto $M$ llamado espacio de fase , un monoide (un conjunto donde puede agregar elementos juntos, en términos generales) $T$ llamado tiempo espacio , y finalmente una familia de mapas $\{ \Phi^t \}_{t \in T}$ , $\Phi^t : M \rightarrow M$ , llamado evolución , flujo , o si se quiere, física , que satisfacen la siguiente propiedad de semigrupo : para todo $P \in M$ y tiempos $s, t \in T$ ,

Φ^{0} (PAG) = PAG

$\Phi^0(P) = P$

Φ^{s} (Φ^{t} (PAG)) = Φ^{t + s} (PAG)

$\Phi^s(\Phi^t(P)) = \Phi^{t + s}(P)$

. Digo que esto es muy intuitivo porque corresponde bastante directamente a lo que imaginamos que hacen las leyes de la física: toman lo que sabemos sobre el presente, es decir, el punto del espacio de fase $P$ , y predicen el futuro, es decir, cuál será el caso después de algún intervalo: eso es $\Phi^t(P)$ .

(Además, una nota: en física, al menos $T$ normalmente se toma como los números reales $\mathbb{R}$ , junto con la adición. En mecánica específicamente clásica, $M$ es una variedad diferenciable y, más específicamente, una "variedad simpléctica", por lo que tiene una estructura adicional más allá de la puramente topológica y analítica. Para un sistema simple que consta de un objeto puntiforme en movimiento, los elementos de $M$ son pares $(X, \mathbf{p})$ de una posición $X$ y el impulso $\mathbf{p}$ .)

Entonces podemos definir una simetría del sistema dinámico como un automapa biyectivo $S: M \rightarrow M$ del espacio de fase en sí mismo que respeta la dinámica, es decir, para todos $P \in M$ y $t \in T$ ,

Φ^{t} (S (PAG)) = S (Φ^{t} (PAG))

$\Phi^t(S(P)) = S(\Phi^t(P))$

.

Dicho de otra manera, si transformamos el espacio de fases por la simetría, el punto transformado genera una historia que es simplemente la transformada de la historia del punto original, es decir, ambos son generados por la misma ley de la física. $\Phi$ . O dicho de otro modo, las simetrías son una especie de "automorfismo" del sistema dinámico.

Pero aquí está la cosa: cada vez que traductor, $\Phi^s$ , es una simetría de $\Phi$ por esta definición, y por lo tanto eso significa que siempre debe haber una energía conservada por implicación, ¿no? Y si tuviéramos una serie de tiempo que no podría ser dada por un sistema dinámico como se describió anteriormente, por ejemplo, dos valores en la serie eran iguales pero con diferentes valores siguiéndolos, por lo que la propiedad del semigrupo falla o, de manera equivalente, la trayectoria se interseca a sí misma, podemos siempre solo amplíe el espacio de fase. Y luego, una vez más, podemos expresar algún tipo de "energía" conservada.

En otras palabras, todos los sistemas dinámicos son simétricos en el tiempo y conservan alguna cantidad como resultado de ello que potencialmente podríamos llamar energía.

Entonces, ¿por qué la afirmación de que la energía se conserva es una afirmación "no trivial" sobre el universo si siempre podemos encontrar algo para llamar "energía conservada"? O, para decirlo de otra manera, ¿cómo es que la simetría de traslación temporal no es trivial, cuando está esencialmente integrada en la definición de sistemas dinámicos y espacios de fase (en particular, se deriva del no cruce de trayectorias de espacio de fase)? ?

ricardo myers

Vale la pena mencionar que la existencia de cantidades conservadas en realidad es solo la mitad del poder del teorema de Noether. También existe la conexión entre las cargas conservadas y la transformación de simetría a través del corchete de Poisson en la formulación canónica del sistema.

el_simpatizante

@Richard Myers: Estaba sospechando algo así: que el teorema tenía un detalle adicional oculto en los "corresponde": el teorema afirma una correspondencia específica entre una cantidad conservada y una simetría de la dinámica.

miridio

En mecánica clásica, dos funciones de los momentos y coordenadas.

F (p_{i}, q_{i}), G (p_{i}, q_{i})

$F(p_i, q_i), G(p_i, q_i)$ tener un corchete de Poisson de cero,

{F, G} = 0

$\{F, G\} = 0$ , precisamente cuando la transformación del espacio de fase infinitesimal asociada con $G$ deja el valor de

F

$F$ invariante. el anverso

G, F

$G,F$ también es cierto en el caso de que

G

$G$ es el hamiltoniano del sistema, entonces la transformación del espacio de fases asociada con

G

$G$ es la que sigue el sistema a medida que evoluciona en el tiempo. La conservación de energía se distingue de otras cantidades conservadas como

{H, H} = 0

$\{H,H\} = 0$ .

usuario253751

No veo el salto. Sin el teorema de Noether, ¿cómo se obtiene de "

Φ^{s}

$\Phi^s$ es una simetría" a "hay alguna cantidad conservada"?

Respuestas (6)

¿Cómo es la conservación de la energía y el teorema de Noether una declaración no trivial?

Vale la pena mencionar que la existencia de cantidades conservadas en realidad es solo la mitad del poder del teorema de Noether. También existe la conexión entre las cargas conservadas y la transformación de simetría a través del corchete de Poisson en la formulación canónica del sistema.
@Richard Myers: Estaba sospechando algo así: que el teorema tenía un detalle adicional oculto en los "corresponde": el teorema afirma una correspondencia específica entre una cantidad conservada y una simetría de la dinámica.
En mecánica clásica, dos funciones de los momentos y coordenadas. $F(p_i, q_i), G(p_i, q_i)$ tener un corchete de Poisson de cero, $\{F, G\} = 0$ , precisamente cuando la transformación del espacio de fase infinitesimal asociada con $G$ deja el valor de $F$ invariante. el anverso $G,F$ también es cierto en el caso de que $G$ es el hamiltoniano del sistema, entonces la transformación del espacio de fases asociada con $G$ es la que sigue el sistema a medida que evoluciona en el tiempo. La conservación de energía se distingue de otras cantidades conservadas como $\{H,H\} = 0$ .
No veo el salto. Sin el teorema de Noether, ¿cómo se obtiene de " $\Phi^s$ es una simetría" a "hay alguna cantidad conservada"?

Andrés · Answer 1

Aquí hay algunas observaciones, que creo que juntas forman una respuesta a su pregunta (aunque no estoy seguro de haber seguido toda la notación en el cuerpo de la pregunta).

Cualquier solución de una ecuación diferencial de segundo orden (escalar) tiene dos constantes asociadas con la solución, a saber, las dos constantes de integración. Sin embargo, en general, no solemos llamar a estas constantes cantidades conservadas , porque no se pueden calcular usando solo los grados de libertad dinámicos en un momento dado. En otras palabras: para calcular la energía de un oscilador armónico en el tiempo $t$ , solo necesitamos saber la posición y la velocidad en el tiempo $t$ (más constantes como la frecuencia de oscilación). Sin embargo, conocer las condiciones iniciales en algún momento $t_0$ , necesitamos integrar las ecuaciones de movimiento en el tiempo. Por supuesto, para un oscilador armónico, podemos hacer esto y, a menudo, relacionar las condiciones iniciales con la energía, en cuyo caso las condiciones iniciales se pueden recuperar conociendo el estado del sistema solo en el momento actual (hasta una fase). Pero para un sistema sin energía conservada, solo podría calcular las condiciones iniciales al hacer evolucionar el sistema hacia atrás; no puede calcular directamente las condiciones iniciales dado solo el estado del sistema en algún momento posterior.
Por supuesto, hay sistemas dinámicos sin cantidades conservadas. Es decir, cualquier sistema sin invariancia de traducción de tiempo (como un oscilador armónico donde la frecuencia de oscilación cambia con el tiempo). Su formalismo debería poder ver esto (aunque no me queda 100% claro cómo), pero para un sistema con un hamiltoniano dependiente del tiempo, para definir el operador de evolución (que llamó $\Phi^s$ ) debería tener que especificar tanto la hora inicial $t_0$ y el tiempo final $t$ a la que está evolucionando el sistema.

Para resumir, el aspecto no trivial de la energía es que es una declaración sobre una cantidad que se puede calcular usando solo el estado del sistema en un momento único. También podemos etiquetar trayectorias espaciales de fase usando condiciones iniciales, pero (a diferencia de la energía) la única forma de calcular las condiciones iniciales (dado el estado en un momento posterior $t$ es hacer evolucionar el sistema de vuelta al tiempo inicial.

Gracias, y sí, por el oscilador armónico, mapa de evolución. $\Phi^t$ es esencialmente solo rotación en el espacio de fase sobre el origen ( $X = p = 0$ ) con la frecuencia angular apropiada. Entonces, el truco relevante es considerar un operador de evolución más general que tome tanto el incremento de tiempo como un tiempo presente, es decir $\Phi^{t \rightarrow t'}$ , donde esta notación indica que el mapa evoluciona un estado registrado en un momento específico $t$ al tiempo $t'$ . La simetría temporal significa entonces que esto es independiente de $t$ , el tiempo de origen, es decir, la dinámica se puede dar de la forma recién descrita en el post.
(O para decirlo de otra manera, que bajo la ley dinámica dada, el estado actual especifica el futuro sin ambigüedades sin necesidad de ingresar información adicional).
Y luego, de hecho, que hay una energía conservada es simplemente que puedes poner una función que tiene las líneas de corriente en el espacio de fase como sus curvas de nivel. No puede hacer eso si las curvas se cruzan, de lo contrario no tendría una función sino una relación de uno a muchos.

roger vadim · Answer 2

La conservación de energía significa que las ecuaciones de movimiento tienen una primera integral. Esta es una declaración no trivial, ya que selecciona un subconjunto de ecuaciones de todos los tipos imaginables de ellas.

Si bien se sabía que muchas ecuaciones de movimiento obtenidas empíricamente tenían tal integral, el teorema de Noether establece esta afirmación en la forma más general, como resultado de la homogeneidad del tiempo.

qmecanico · Answer 3

Por un lado, el teorema de Noether en su formulación original asume una formulación de acción. La configuración de OP (v1) carece de esto. La formulación de acción conduce, entre otras cosas, a la fórmula estándar para la energía (que es, por supuesto, el cargo de Noether para las traducciones de tiempo), cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Por otro lado, dado solo el triple de OP, no hay una definición clara de energía. Por lo general, no se permite elegir ninguna constante de integración antigua de los EOM y afirmar que es la energía.

Entonces, otra interpretación para responder a esta pregunta sería que el teorema de Noether depende de una formulación bastante más restrictiva de la idea de una "ley de la física", entonces, ¿no?
Gracias. Con respecto también a su declaración "no hay una definición clara de energía", he escuchado a muchos que dicen "la definición de energía es que es la cantidad conservada correspondiente a la simetría bajo traducción temporal". ¿Revela esto un problema con esa idea, porque su punto (2) parece implicar una definición preexistente de energía antes de que podamos hablar de conexiones con la traducción temporal?
La cita anterior (que muchos dicen) no es en sí misma una definición completa de energía.

el_simpatizante · Answer 4

Esta es una parte de una respuesta; aún no es una respuesta completa.

El problema con la pregunta tal como la enmarqué es que esta definición de dinámica puede no ser lo que muchos físicos tienen en mente, aunque es muy intuitiva porque básicamente dice que una ley dinámica o física es algo que tú puede usar para predecir el futuro a partir del presente, dado el estado actual y qué tan lejos quiere ir.

En mis comentarios en la publicación de @Andrew, discutí un poco esta parte, y el problema es algo sutil: el espacio de fase es el estado actual del sistema , sin embargo, podemos conceptualizar una historia generada al aplicar uno $\Phi$ familia por un cierto rango de veces, luego aplique otro después de ese, y luego otro, y así sucesivamente. Este no sería un sistema dinámico según la definición dada, pero representaría una "ley cambiante de la física" exactamente en la forma en que pensamos a través de la contraposición del teorema de Noether, dado que tomamos $\Phi$ ser el objeto que hace precisa la noción de "ley de la física".

Por lo tanto, para discutir el teorema de Noether en simetría de traslación temporal y espacial, como una declaración no trivial, necesitamos admitir que la definición de dinámica que dimos era, en cierto sentido, demasiado estricta. Una posible definición más flexible para capturar lo anterior es que la familia de mapas $\Phi$ tiene tanto un incremento de tiempo como un tiempo de inicio en el que se aplicará dicho incremento: podríamos cambiar la notación a $\Phi_{t, \Delta t}$ en cambio, para enfatizar que ya no es un proceso iterativo directo. El significado semántico de este mapa es "interpretar el estado físico pasado como sostenido en el instante de tiempo específico $t$ . Entonces evoluciona hacia adelante $\Delta t$ de acuerdo con las leyes pertinentes de la época". Y requerimos lo siguiente: nuevamente,

Φ_{t, 0} (PAG) = PAG

$\Phi_{t,0}(P) = P$

pero ahora modificamos la ley del semigrupo para

Φ_{t + Δ t, Δ s} (Φ_{t, Δ t} (PAG)) = Φ_{t, Δ t + Δ s} (PAG)

$\Phi_{t+\Delta t,\Delta s}(\Phi_{t, \Delta t}(P)) = \Phi_{t, \Delta t + \Delta s}(P)$

donde notamos ahora la evolución posterior por $\Delta s$ tiene que ser iniciado explícitamente en el punto de tiempo donde la primera evolución por $\Delta t$ dejado, es decir $t + \Delta t$ desde el tiempo inicial $t$ en que estado $P$ es válida. Esa parte es necesaria porque las leyes pueden haber cambiado en ese punto.

En este formalismo, la simetría de traducción temporal se puede definir como afirmando que $\Phi_{t,\Delta t}(P)$ es independiente de la hora de inicio $t$ , y por lo tanto ahora ya no es una declaración trivial: podemos tener casos en los que falla. O para decirlo de otra manera, la simetría de traslación temporal es, en efecto, la declaración de que la dinámica en el espacio de fase dado forma un sistema dinámico como lo definimos anteriormente.

Dicho esto, todavía parece posible que podamos ampliar el espacio de fase, y luego, una vez más, estamos en el mismo problema. Sin embargo , aquí es donde entra la respuesta de @Qmechanic: la energía no es solo una cantidad aleatoria antigua que podemos conservar con el tiempo. Es una cantidad conservada muy específica , y eso requeriría una mayor explicación y es donde mi respuesta debe revelar su parcialidad.

rschwieb · Answer 5

Aquí está mi opinión sobre la pregunta del título ¿ Cómo es la conservación de energía y el teorema de Noether una declaración no trivial?

Considere esta cita de Spivak's Calculus on manifolds

El teorema de Stokes comparte tres atributos importantes con muchos teoremas principales completamente desarrollados:

es trivial

Es trivial porque los términos que aparecen en él han sido adecuadamente definidos.

Tiene consecuencias significativas

Siento que el teorema de Noether es definitivamente del mismo tipo mencionado aquí y, de hecho, lo he visto mencionado como "trivial" en ciertas formulaciones. Por ejemplo, en el artículo de Baez Getting to the bottom of Noether's theorem , hace comentarios como

"Habiendo reducido el teorema de Noether a una trivialidad trabajando solo con generadores..."

"Sin embargo, ¿cuál es el significado de la antisimetría del paréntesis? Hasta ahora simplemente lo hemos postulado en la definición del álgebra de Poisson, por lo que esencialmente hemos construido el teorema de Noether desde el principio".

Consulte también Hudgins Comprender el teorema de Noether con geometría simpléctica

Este artículo mostrará que el teorema de Noether, como todos los grandes teoremas, es trivial de formular y demostrar una vez que se desarrolla la teoría matemática adecuada, que, en este caso, será la teoría de las variedades simplécticas.

Para mí, esto tiene todas las características de la visión de Spivak del teorema de Stokes. Cualquiera que tenga un buen conocimiento de toda la maquinaria utilizada para demostrar el teorema de Noether bien puede decir que parece trivial, y esto es precisamente porque tiene la ventaja de contar con la maquinaria adecuada.

El álgebra de mentiras, en la que Noether era un experto, ciertamente contiene todas las semillas para los conocimientos necesarios para probar el teorema, pero creo que la geometría simpléctica en variedades, aunque existía, no era muy conocida en ese momento. Pero después de 1960, la geometría simpléctica es bastante conocida. Desde entonces, los matemáticos han estado manipulando la declaración y las definiciones durante años para maximizar su potencial para explicar las cosas, incluida la conservación de la energía (a través de la ecuación trivial $\{H, H\}=0$ .) Por lo tanto, somos propensos a caer presas de la "maldición del conocimiento" y nos preguntamos cómo los lectores anteriores podrían haber estado nerviosos por algo que nos parece trivial.

Entonces, considerando todo esto, creo que la mayoría de la gente estará de acuerdo en que el teorema de Noether es un resultado no trivial en el sentido de que las ideas subyacentes se unen en un teorema útil y no del todo obvio, incluso si su prueba se puede escribir de manera muy sucinta con conceptos modernos. No creo que nadie se haga ilusiones sobre su dificultad.

usuario1379857 · Answer 6

Hay dos formas principales de formular la mecánica clásica: con un lagrangiano o con un hamiltoniano. En su pregunta, esencialmente ha dado una definición de mecánica clásica que recuerda mucho a la mecánica hamiltoniana (sin definir la forma simpléctica, pero no entremos en eso).

La cuestión es que, en la mecánica hamiltoniana, la simetría traslacional del tiempo es algo trivial, tienes razón. Más específicamente, la traducción del tiempo es generada por el campo vectorial $X_H$ en el espacio de fases, donde $H$ es su función de energía, definida por

X_{H} (F) \equiv {F, H} .

$X_H(f) \equiv \{f, H\}.$ Por la ecuación trivial

\frac{d}{d t} H = {H, H} = 0

$\frac{d}{dt} H = \{H,H\} = 0$ , podemos ver que la energía efectivamente se conserva.

Entonces, en la mecánica hamiltoniana, la simetría traslacional del tiempo está realmente "horneada en el pastel", y de hecho tienes razón.

Sin embargo, en la formulación lagrangiana, no es tan sencillo. Si tienes un Lagrangiano completamente general, $L(q_i, p_i, t)$ , que depende explícitamente del tiempo $t$ , entonces la energía no se conservará. Solo cuando el Lagrangiano es independiente del tiempo, $L = L(q_i,p_i)$ , se conservará la energía.

De hecho, la forma en que Emmy Noether formuló su teorema original fue en el marco de Lagangian.

En realidad, en el marco hamiltoniano, también puede tener hamiltonianos dependientes del tiempo, $H(t)$ . En estos casos, tampoco se conservará la energía.

Para obtener más información sobre esto, consulte mi "Manifiesto: ¿Qué es realmente una simetría?" en esta respuesta aquí:

https://física.stackexchange.com/a/461762/157704

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usuario1379857

Teorema de Noether: forma de transformación infinitesimal

¿Cuál es la importancia del teorema de Noether en Física?

¿Por qué las simetrías en el espacio de fases son generadas por funciones que dejan invariante al hamiltoniano?

El teorema de Emmy Noether en términos más simples

Teorema de Noether para la simetría traslacional del espacio

¿Qué significa que un sistema sea invariante bajo rotación?

¿Por qué es importante el teorema de Noether?

Teorema de Noether: Hay cantidades conservadas correspondientes a simetrías de posición, orientación y tiempo, pero ¿por qué no la velocidad?

¿Es descuidado decir que la isotropía del espacio conduce a la conservación del momento angular?

La versión de Layman del teorema de Noether (o la intuición detrás de él)