La regla de oro de Fermi y los estados de Fock

Tengo problemas para entender la derivación de la tasa de emisión espontánea y estimulada que figura en este enlace .

Tenemos una perturbación que toma la forma:

$$\hat H=\sum_{\vec k}f(\vec r,\vec k) e^{-i\omega_k t}$$ Con un inicial y final sido: $$\left|i\right>=\left|a\right> \left|...n_{\vec l}...\right>$$ $$\left|f\right>=\left|b\right> \left|...n_{\vec l}+1...\right>$$ Donde la diferencia de energía entre los estados inicial y final está dada por: $$E_f-E_i=E_b-E_a +\hbar \omega_l$$

Ahora sé que por la regla de oro de Fermi, para un potencial de la forma$\hat V=V_0 e^{-i\omega t}$tenemos una probabilidad de transición de la forma:

$$P_{if}=\frac{2\pi t |V_{fi}|^2}{\hbar^2} \delta(\hbar \omega-E_{fi})$$ Entonces, en nuestro caso, esperaría que tuviéramos $$P_{if}=\frac{2\pi t }{\hbar^2} \sum_{\vec k} |f_{fi}|^2\delta(\hbar \omega_k-(E_b-E_a +\hbar \omega_l)) \tag{1} \label{1}$$ Sin embargo, en el enlace parecen estar usando: $$P_{if}=\frac{2\pi t }{\hbar^2} \sum_{\vec k} |f_{fi}|^2\delta(\hbar \omega_k+E_b-E_a) \tag{2} \label{2}$$ Intuitivamente ( $\ref{2}$) me parece correcto, pero esto parece inconsistente con ( $\ref{1}$), que no puedo ver por qué está mal. Entonces, si puede ( $\ref{2}$) derivarse de ( $\ref{1}$), si es así cómo y si no por qué es ( $\ref{1}$) ¿equivocado?

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Creo que la respuesta a esta pregunta puede estar en la 'imagen' de la mecánica cuántica utilizada. En la imagen de Schrödinger, la interacción hamiltoniana es independiente del tiempo. Ahora bien, si por la forma de la regla de oro de Fermi he dado aquí$\hat V$debe escribirse en la imagen de Schrödinger, entonces la ecuación ($\ref{2}$) se sigue naturalmente de ello. Sin embargo, si está escrito en la imagen de interacción, entonces ($\ref{1}$) se sigue naturalmente de ello. Por lo tanto, tengo razón al decir que para la regla de oro de Fermi en la forma que he dado$\hat V$debe estar escrito en la imagen de Schrödinger?