Conmutador de simetría R

El punto es que el álgebra SUSY,

$$\begin{align} & \left\{ Q _\alpha ,Q _\beta \right\} = \left\{ \bar{Q} _{\dot{\alpha}} , \bar{Q} _{\dot{\beta}} \right\} = 0 \\ & \left\{ Q _\alpha , \bar{Q} _{\dot{\beta}} \right\} = 2 \sigma ^\mu _{ \alpha \dot{\beta} }P ^\mu \end{align}$$ es invariante bajo la multiplicación de $Q _\alpha$por una fase, $$\begin{align} Q _\alpha & \rightarrow e ^{ - i \phi } Q _\alpha \\ \bar{Q} _{\dot{\alpha}} & \rightarrow e ^{ i \phi } \bar{Q} _{\dot{\alpha}} \end{align}$$ Esto significa que puede tener una teoría invariante SUSY pero aún tener una simetría adicional que diferencia entre bosones y fermiones (ya que no necesita conmutar con $Q _\alpha$).

Para ver esto explícitamente considere el efecto de un$R$simetría en$Q _\alpha$:

$$\begin{align} e ^{ -i R \phi } Q _\alpha e ^{ i R \phi } & = e ^{ - i \phi } Q _\alpha \\ \left( 1 - i R \phi - ... \right) Q _\alpha \left( 1 + i R \phi - ... \right) & = - i \phi Q _\alpha \\ i \left[ Q _\alpha , R \right] \phi = - i \phi Q _\alpha \\ \left[ Q _\alpha , R \right] = - Q _\alpha \end{align}$$ Por lo tanto, esta simetría de cambio de fase implica que la conmutación entre el $R$generador de simetría y $Q _\alpha$no es trivial y, por lo tanto, los bosones y los fermiones pueden tener una carga R diferente. Esto es lo que hace que las simetrías R sean tan especiales. Esta discusión es probablemente más complicada para ${\cal N} > 1$.