Pregunta sobre la paridad del operador de número fantasma en la cuantificación BRST

Question

Pregunta sobre la paridad del operador de número fantasma en la cuantificación BRST

Física
mentira-álgebra
cuantización
supersimetría
teoría cuántica de campos

osiris

Dado un álgebra de mentira $[K_i,K_j]=f_{ij}^k K_k$ , y campos fantasma que satisfacen las relaciones de anticonmutación $\{c^i,b_j\}=\delta_j^i$ , el operador de número fantasma es entonces $U=c^ib_i$ (Se suman los índices duplicados).

La pregunta planteada al demostrar que el operador BRST eleva el número fantasma en 1, se da en el Ejemplo 6.1 en la página 116-118 del libro, Teoría de cuerdas desmitificada.

http://books.google.com/books?id=S4JyPgw4ZlAC&lpg=PP1&pg=PA117#v=onepage&q&f=false

En la segunda y tercera línea de la fórmula de derivación de $UC^iK_i$

$UC^iK_i=...=c^iK_i-c^i\displaystyle\sum_rc^rb_rK_i=c^iK_i+c^iK_i\displaystyle\sum_rc^rb_r=...$

donde necesitamos $c^r U K_r =-c^r K_r U$

El cambio de signo anterior no es manifiestamente obvio para mí.

---agregar---

No importa. Encuentro que la segunda línea me engañó. Debería ser $UC^iK_i=...=c^iK_i+c^i\displaystyle\sum_rc^rb_rK_i=c^iK_i+c^iK_i\displaystyle\sum_rc^rb_r=...$ Además, en la prueba seguida en este ejemplo, es necesario corregir algunos errores tipográficos. Pero el resultado final es correcto. ¡El operador BRST eleva el número fantasma en 1!

qmecanico

El operador de números fantasma

U

$U$ es manifiestamente Grassmann-incluso, y conmuta con los generadores de álgebra de Lie,

U K_{r} = + K_{r} U

$UK_r=+K_rU$ . Por lo tanto, el signo menos buscado en la última ecuación de la pregunta (v1) no es posible (a menos, por supuesto, que el álgebra de Lie sea simplemente

u (1)

$u(1)$ , en cuyo caso ambos lados son en realidad cero porque el fantasma

c^{1} c^{1} = 0

$c^1c^1=0$ es nilpotente).

Respuestas (1)

Pregunta sobre la paridad del operador de número fantasma en la cuantificación BRST

El operador de números fantasma $U$ es manifiestamente Grassmann-incluso, y conmuta con los generadores de álgebra de Lie, $UK_r=+K_rU$ . Por lo tanto, el signo menos buscado en la última ecuación de la pregunta (v1) no es posible (a menos, por supuesto, que el álgebra de Lie sea simplemente $u(1)$ , en cuyo caso ambos lados son en realidad cero porque el fantasma $c^1c^1=0$ es nilpotente).

Ron Maimón · Answer 1

El libro tiene un error tipográfico de signo menos en la ecuación anterior. La conmutación en el paso que está viendo no introduce un signo menos, pero la línea anterior tenía un término de la forma

- C^{r} C^{i} b_{r} k_{i}

$- c^r c^i b_r K_i$

con un signo menos al frente, lo que requiere que conmute las dos c una al lado de la otra. El siguiente paso escribe

- C^{i} C^{r} b_{r} k_{i}

$- c^i c^r b_r K_i$

incorrectamente, debería ser un signo más, porque las c están conmutadas, y luego el siguiente paso dice

C^{i} k_{i} C^{r} b_{r}

$c^i K_i c^r b_r$

Que corrige el error. Asumiste que el signo menos provino de mover la K, que no hace nada, cuando en realidad proviene de conmutar las c una al lado de la otra. Gracias por vincular el libro, de lo contrario hubiera sido imposible encontrar el error.

Dada la introducción desmotivada e innecesariamente formal de BRST en este libro, le recomendaría que lea la introducción de BRST en los apéndices de Polchinski. El ejercicio en cuestión no requiere gimnasia formal de manipulación de símbolos en un cálculo de operadores, es una pregunta simple.

Acabo de encontrar este error tipográfico por mí también. Sí, hay muchos errores tipográficos en la versión actual de este libro. Leeré el de Polchinski. Muchas gracias.

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osiris

qmecanico

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Ron Maimón

osiris

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