Confusión sobre la simetría y la conservación

El teorema de Noether en realidad dice que las simetrías continuas de la acción implican constantes de movimiento. El diablo está en los detalles y los detalles aquí son los términos simetrías de la acción y constantes de movimiento . Por simetrías de la acción entenderemos transformaciones que dejan la acción invariante o casi invariante, es decir, que no modifican las ecuaciones de movimiento. Las constantes de movimiento son cantidades que son constantes a lo largo de la evolución temporal del sistema.

Cuando uno hace una transformación infinitesimal$q\rightarrow q+\epsilon \chi$, el cambio lagrangiano como

$$\delta L=\frac{\partial L}{\partial q}\epsilon\chi+\frac{\partial L}{\partial \dot q}\epsilon\dot\chi=\epsilon (\dot p\chi +p\dot\chi)=\epsilon\frac{d}{dt}(p\chi).$$ Para que la acción sea a lo sumo cuasi-invariante, $S$y $S'$tienen que diferir como máximo por un término $f(q,t)$, ya que en ese caso el principio de Hamilton implicaría en las mismas ecuaciones de movimiento. De ahí que podamos considerar, $$S'-S=\epsilon\int\delta Ldt=\epsilon\int \frac{df(q,t)}{dt}dt,$$ y por lo tanto $$\frac{d}{dt}(p\chi)=\frac{df(q,t)}{dt},$$ o $$C=p\chi-f(q,t),$$ es una constante de movimiento a lo largo de la evolución temporal del sistema.

Si

$$\delta L=\epsilon \frac{df(q,\dot q,t)}{dt},$$ entonces $$S'-S=\epsilon\int\delta Ldt=\epsilon\int \frac{df(q,\dot q,t)}{dt}dt.$$ Sin embargo no podemos decir $$C'=p\chi-f(q,\dot q,t)$$ es una constante de movimiento porque las ecuaciones del movimiento mismo han cambiado. El sistema tiene una evolución dinámica antes de la transformación y otra después. No tiene sentido comparar el valor de alguna variable dinámica utilizando diferentes evoluciones dinámicas.

OP escribió (v3):

[...] Resulta que$L^´:=L+\frac{d}{dt}f(q,t)$conduce a exactamente las mismas ecuaciones de movimiento (para cualquier función$f(q,t)$), por lo que podemos considerar$L$y$L^´$Lagrangianos equivalentes. Tenga en cuenta, sin embargo, que esto sólo funciona cuando$f$no depende de$\dot{q}$. Si$f$depende de$\dot{q}$de hecho, los lagrangianos podrían dar lugar a diferentes ecuaciones de movimiento. [...]

Si las derivadas variacionales/funcionales existen, entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) no dependen de$f$incluso si depende de$\dot{q}$, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

[...] Pero cuando miré la prueba del teorema de Noether, descubrí que realmente no es necesario para$f$no depender de$\dot q$. [...]

Correcto.

[...] Pensé que el teorema de Noether decía que toda simetría implica una cantidad conservada y toda cantidad conservada implica una simetría. [...]

Sólo el primero es el teorema de Noether . Este último sería el teorema de Noether inverso , que solo se cumple bajo suposiciones adicionales.