Tomo este Lagrangiano:
En este tema, ¿un término adicional de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana es importante para las ecuaciones de campo? , se dice que cualquier término de 4 divergencias añadido a un Lagrangiano no modifica la ecuación de movimiento.
En mi ejemplo agrego a (no es una divergencia 4 pero la mecánica detrás es exactamente la misma). Y remarco que puede modificar la ecuación de movimiento si contiene derivadas temporales de . Entonces no entiendo.
Escribo la variación infinitesimal de la acción en :
Como de costumbre, sé que: . Así puedo integrar por partes:
Tenemos:
En efecto, en los límites por hipótesis ( para coordenadas espaciales y para el tiempo).
También tenemos:
** Y aquí está mi problema **.
El hecho no implica que .
Para ser más precisos, podría ser cierto si (*) pero si tomo las coordenadas de tiempo, tengo . Así que al menos no es cierto para .
Por lo tanto, el término adicional modifica la extremalidad de la acción. Así no tendré la misma ecuación de movimiento.
Pero en este tema: ¿ Un término adicional de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana es importante para las ecuaciones de campo? el libro del autor dice que cualquier cuatro divergencia no afecta la ecuación de movimientos.
Pero hemos visto aquí (si no me equivoco, lo que no es nada seguro) que si el término adicional es una derivada total que contiene derivadas temporales del campo, puede cambiar las ecuaciones de movimiento.
¿Dónde estoy equivocado?
(*) : es cierto porque preguntamos para ir a cero en el infinito, por lo que solo permitimos variaciones de que desaparecen en el infinito (de lo contrario, terminaríamos con no integrable). Y como va a en el infinito, toda su derivada también.
La afirmación correcta es que un término límite (BT) en la acción (o, de manera equivalente, un término de divergencia total en la densidad lagrangiana) no cambia la derivada funcional/variacional si existen tanto la derivada funcional antigua como la nueva. Preste atención a la palabra importante si en la oración anterior: esto no excluye la posibilidad de que no exista un funcional/variacional.
Para que existan derivadas funcionales, es necesario imponer condiciones de contorno (BC) adecuadas. Un término de frontera/divergencia total puede cambiar el conjunto adecuado de BC.
En el ejemplo de OP, ha observado correctamente que los BC de Dirichlet no son suficientes para eliminar los BT en la variación.
Para resumir: OP no ha demostrado que existan 2 conjuntos diferentes de ecuaciones de Euler-Lagrange, cf. la pregunta del título (v6). Solo que algunas opciones de BT y BC pueden hacer que el problema variacional esté mal definido.
Para el caso mecánico puntual, consulte también esta publicación de Phys.SE. El caso teórico de campo es una generalización directa.
en el límite, .
Piense en términos del principio de variación unidimensional. En este caso, se encuentra la equivalencia . Así cuando uno toma en el límite, obtenemos inmediatamente también.
Esto es válido para cualquier principio variacional con la condición límite dada en cualquier dimensión. Espero que esto resuelva tu confusión.
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