Corriente de Noether conservada trivial con segundas derivadas

Question

Corriente de Noether conservada trivial con segundas derivadas

Física
simetría
teorema de noethers
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
principio variacional

difeomorfismo

Estoy considerando una transformación de simetría en un Lagrangiano

d A = \int L (q + d q, \dot{q} + d \dot{q}, \ddot{q} + d \ddot{q}) d t

$\delta A = \int L(q +\delta q, \dot{q} + \delta \dot{q} , \ddot{q} + \delta \ddot{q}) dt$

la variación general toma la forma

d A = \int \frac{\partial L}{\partial q} d q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} d \ddot{q} d t

$\delta A = \int \frac{ \partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \ddot{q} dt$

Ahora, el segundo término dentro de la integral normalmente se maneja como:

\int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d q - \int \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) d q

$\int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q - \int \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ) \delta q$

el tercer término requiere un poco más de trabajo, lo tengo como:

\int \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} d \ddot{q} = \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} d \dot{q} - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}) d q + \int \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} t} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}) d q

$\int \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \ddot{q} = \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \dot{q} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \delta q + \int \frac{\partial^2}{\partial^2 t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \delta q$

Entonces mi variación (que en el caso de la simetría debe ser cero hasta los términos del límite es)

d A = \int {\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) + \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} t} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}})} d q d t + {\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}})} d q + \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} d \dot{q}

$\delta A = \int \Big \{ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ) + \frac{\partial^2}{\partial^2 t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \Big \} \delta q dt + \Big \{ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \Big \} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \dot{q}$

Ahora, estoy tomando ambos términos de frontera para que sean corrientes conservadas:

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}})

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} )$

y

\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}

$\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}$

Pero si la segunda es una corriente conservada, entonces su derivada es cero y la corriente conservada se vuelve trivialmente idéntica al caso de primer orden.

¿Cuál es el error en mi derivación?

ZachMcDargh

¿Sabes que este resultado es incorrecto? Eso no me parece obvio.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/123098/2451

Respuestas (1)

Corriente de Noether conservada trivial con segundas derivadas

¿Sabes que este resultado es incorrecto? Eso no me parece obvio.

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

Sea dado un Lagrangiano
$\begin{matrix} (1) & L (q, v, a, t), v^{i} := {\dot{q}}^{i}, a^{i} := {\dot{v}}^{i}, ȷ^{i} := {\dot{a}}^{i}, \end{matrix}$ $\tag{1} L(q,v,a,t), \qquad v^i~:=~\dot{q}^i,\qquad a^i~:=~\dot{v}^i,\qquad \jmath^i~:=~\dot{a}^i,$ eso depende de hasta la segunda derivada.
Dejar
$\begin{matrix} (2) & d q^{i} = ε Y^{i} (q, v, a, t), \end{matrix}$ $\tag{2} \delta q^i~=~\varepsilon Y^i(q,v,a,t) ,$ ser una cuasi-simetría (global, vertical) del Lagrangiano, es decir, existe una función $f(q,v,a,\jmath,t)$ tal que $\begin{matrix} (3) & d L = ε \frac{d F}{d t} . \end{matrix}$ $\tag{3} \delta L ~=~ \varepsilon \frac{df}{dt}.$ Aquí $\varepsilon$ es un parámetro constante infinitesimal.
El (primer) teorema de Noether establece que una sola cuasi-simetría (3) corresponde a una sola ley de conservación en el caparazón $^1$
$\begin{matrix} (4) & \frac{d q}{d t} \approx 0. \end{matrix}$ $\tag{4} \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$
La carga Noether (completa) correspondiente es en este caso
$\begin{matrix} (5) & q := (\frac{\partial L}{\partial v^{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial a^{i}}) Y^{i} + \frac{\partial L}{\partial a^{i}} \frac{d Y^{i}}{d t} - F . \end{matrix}$ $\tag{5} Q~:=~\left(\frac{\partial L}{\partial v^i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial a^i}\right)Y^i +\frac{\partial L}{\partial a^i}\frac{dY^i}{dt} - f.$
El error en la derivación de OP parece ser que básicamente no existe.

--

$^1$ Aquí el $\approx$ El símbolo denota ecuaciones de igualdad módulo Euler-Lagrange (EL). Tenga en cuenta que para tener ecuaciones EL bien definidas. es necesario imponer condiciones de contorno apropiadas.

"El error en la derivación de OP parece ser que básicamente no existe" No entiendo, ¿qué quieres decir con esto? ¿Qué es exactamente lo que no existe?
Significa que no parece haber ninguna prueba de que los dos términos de frontera [que se sugieren en la pregunta (v2)] sean corrientes conservadas en primer lugar, en parte porque la cuasi-simetría no se ha especificado explícitamente, y por lo tanto, no hay reclamos reales para discutir.
haría $f$ (que entiendo que son términos de límite puros) ser una función diferente para diferentes transformaciones de simetría? No me queda claro cómo calcular el $f$ que va al final del $Q$ expresión en el caso general. ¿Sería diferente para traslaciones, rotaciones o cambios de tiempo?
Supongo que mi duda se reduce a esto: tienes que calcular la variación de la acción en todos los casos para obtener $f$ ? voluntad $f$ ser simplemente igual a todos los términos de contorno en la variación final?
No es posible proporcionar una fórmula general para $f$ . Sólo es posible calcular $f$ para lagrangianos concretamente dados y transformaciones cuasi-simétricas.
Este formalismo que usa aquí, ¿está disponible en algún lugar de la literatura con esta notación para lagrangianos de orden superior y simetrías generalizadas? ¡Cualquier referencia que pueda proporcionar sería útil para mí! Gracias de antemano...

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