Confusión entre para cada uno y para todos en cuantificadores anidados

Me piden que traduzca lo siguiente al inglés:

∃ X ∀ y ∀ z ( ( F ( X , y ) ∧ F ( X , z ) ∧ ( y ≠ z ) ⟹ ¬ F ( y , z ) )

La solución dice:

Esta expresión dice que si los estudiantes X y y son amigos, y estudiantes X y z son amigos, y además, si y y z no son el mismo estudiante, entonces y y z no son amigos

Pero no entiendo por qué X y y son para todos y no cuantificadores existenciales. Porque no está diciendo que haya un estudiante que sea amigo de todos los estudiantes, solo de uno.

Respuestas (2)

Lo traduciría de la siguiente manera, ya que la solución que citó no trata los cuantificadores de manera muy explícita:

existe un estudiante X tal que para cualquier elección de los estudiantes y y z , dónde y y z son distintos, si X es amigo de ambos y y z , entonces y y z no son amigos

Tenga en cuenta que esto no está diciendo X es amigo de todos y y z , pero eso si X es amigo de ambos, entonces y y z no son amigos

Entonces, ¿por qué no usar el cuantificador existencial si se refiere a una persona?
No estoy seguro de lo que estás preguntando. Usé "existe" para X .
Existe para y y z
Esa sería una declaración diferente. La declaración actual garantiza que para cualquier elección de dos amigos de X , no son amigos mutuos. Si usaste "existe" para y y z , solo sabríamos que eso es cierto para algún par en particular.
@Blakeasd De hecho, y en realidad la declaración dada no garantiza que el estudiante X es amigo de nadie en absoluto. Dice que, "Hay un estudiante que, si tuviera más de un amigo, entonces esos no serían amigos entre sí".

Dado que F ( X , y ) representa " X y y son amigos", y S t ( X ) representa " X es un estudiante", la solución dada es la traducción de la siguiente fórmula:

∀ X ∀ y ∀ z [ S t ( X ) ∧ S t ( y ) ∧ S t ( z ) ∧ F ( X , y ) ∧ F ( X , z ) ∧ y ≠ z → ¬ F ( y , z ) ]

Confusión entre para cada uno y para todos en cuantificadores anidados
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