¿Cómo probar enunciados con cuantificadores y desigualdades?

El comunicado dice lo siguiente:

∀ a , b > 0 , a + b ≥ 2 a b

Lo cual estoy interpretando como "para todo a y b mayor que 0 , a + b ≥ 2 a b ".

Ahora estoy tratando de razonar a través de la lógica.

Entonces:

a + b ≥ 2 a b

⟹ a 2 + 2 a b + b 2 ≥ 4 a b

⟹ a 2 + b 2 ≥ 2 a b

¿Debería crear una prueba secundaria que demuestre que para todos X , y > 0 , X 2 + y 2 > 2 X y . Entonces, por esta prueba lateral, ¿este es el caso?

Pero, ¿cómo probaría siquiera esta prueba lateral?

¡Gracias de antemano!

Siento que mi prueba, de la forma en que me gustaría presentarla, es demasiado circular.

Respuestas (2)

Si a , b > 0 , entonces a + b − 2 a b = a 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 ⩾ 0 . Entonces, a + b ⩾ 2 a b .

pero puedes hacerlo más fuerte :) el OP realmente quiere a + b ≥ 2 a b ...
@ gt6989b Lo he editado. Gracias.
@ gt6989b la respuesta que acaba de tener (pero eliminada) fue perfecta excepto por el s q r t ( 2 a b ) parte.
¿Cómo escribiría formalmente esta prueba?
@Mitchell ¿De qué estás hablando? No borré nada.
Apuntó a @ gt6989b
@JoséCarlosSantos ¿cómo explicaría esto formalmente?
@Mitchell ¿Qué tiene de informal mi prueba?
la desigualdad es cierta para todos
a , b ≥ 0

¡Tu prueba es correcta!

Desde a > 0 y b > 0 , obtenemos

a + b ≥ 2 a b ⇔ ( a + b ) 2 ≥ 4 a b ⇔ ( a − b ) 2 ≥ 0
y hemos terminado!

La cuadratura es posible porque a y b son no negativos.

Si no es así, entonces no podemos hacerlo siempre:

− 2 > − 1 es cierto, pero ( − 2 ) 2 > ( − 1 ) 2 Está Mal;

− 2 > 3 es cierto y ( − 2 ) 2 > 3 2 es verdad.

Por otro lado, si X ≥ y ≥ 0 entonces:

X ≥ y ⇔ X 2 ≥ y 2 ,
que dice que tu primer paso da la prueba.

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