Orden de cuantificadores y variables inversoras

Para la 3ra y 4ta pregunta, una forma informal de entender esto, observe que un existencial puede verse como una especie de disyunción, es decir, si$a,b,c,...$denota los objetos en tu dominio, entonces puedes pensar en un existencial como este:

$\exists x \: \varphi(x) \approx \varphi(a) \lor \varphi(b) \lor \varphi(c) \lor ...$

yo suelo$\approx$ya que esto técnicamente no es una equivalencia lógica, pero si realmente desea probar la equivalencia anterior, debe ingresar a la semántica formal, y eso podría ser demasiado pedir un binner en lógica. Pero, lo que estaría haciendo allí sigue esta idea básica, así que dejémoslo más informal.

Entonces, con esta 'equivalencia', puede mostrar (o al menos comprender informalmente) una equivalencia como$\exists x \exists y \ P(x,y) \Leftrightarrow \exists y \exists x \ P(x,y)$como sigue:

$\exists x \exists y \ P(x,y) \approx$

$\exists y \ P(a,y) \lor \exists y \ P(b,y) \lor \exists y \ P(c,y) \lor ... \approx$

$(P(a,a) \lor P(a,b) \lor P(a,c) ...) \lor (P(b,a) \lor P(b,b)\lor ...) \lor (P(c,a) \lor P(c,b) \lor ...) \lor ... \Leftrightarrow$

$P(a,a) \lor P(a,b) \lor P(a,c) ... \lor P(b,a) \lor P(b,b) \lor ... \lor P(c,a) \lor P(c,b) \lor ... \Leftrightarrow$

$P(a,a) \lor P(b,a) \lor P(c,a) ... \lor P(a,b) \lor P(b,b) \lor P(c,b) ... \lor P(a,c) \lor P(b,c) ... \lor ... \approx$

$\exists x P(x,a) \lor \exists x P(x,b) \lor \exists x P(x,c) \lor ... \approx$

$\exists y \exists x \ P(x,y)$

Entonces, ves que podemos intercambiar dos existenciales si están uno al lado del otro básicamente porque el$\lor$es asociativo y conmutativo.

Asimismo, al pensar un universal como este:

$\forall x \: \varphi(x) \approx \varphi(a) \land \varphi(b) \land \varphi(c) \land ...$

puedes entender por qué dos universales que están uno al lado del otro pueden intercambiarse, ya que el$\land$es tanto asociativo como conmutativo.

Como principio general de equivalencia:

Intercambio de cuantificadores del mismo tipo

$\forall x \forall y \ P(x,y) \Leftrightarrow \forall y \forall x \ P(x,y)$

$\exists x \exists y \ P(x,y) \Leftrightarrow \exists y \exists x \ P(x,y)$

Ahora, observo que en 3) preguntaste:

$(∃x∃y \space P(x,y)) \rightarrow (∃y∃x \space P(y,x))$

Así que aquí no solo intercambias los cuantificadores, sino que también intercambias el rol de las variables en la fórmula. Bueno, eso siempre funciona, porque las variables son solo marcadores de posición ficticios, así que, por supuesto, siempre tienes:

Intercambio de variables vinculadas

$\forall x \ \varphi(x) \Leftrightarrow \forall y \ \varphi(y)$

$\exists x \ \varphi(x) \Leftrightarrow \exists y \ \varphi(y)$

Y en particular, por lo tanto, tiene:

$\exists x \exists y \ P(x,y) \Leftrightarrow$

$\exists z \exists y \ P(z,y) \Leftrightarrow$

$\exists z \exists x \ P(z,x) \Leftrightarrow$

$\exists y \exists x \ P(y,x)$

De hecho, esto también funciona con cuantificadores mixtos, por ejemplo:

$\forall x \exists y \ P(x,y) \Leftrightarrow$

$\forall z \exists y \ P(z,y) \Leftrightarrow$

$\forall z \exists x \ P(z,x) \Leftrightarrow$

$\forall y \exists x \ P(y,x)$

Finalmente, el intercambio de variables en una fórmula normalmente da como resultado una declaración que no es equivalente, pero hay casos en los que sigue siendo equivalente:

Intercambio de roles de variables

$\forall x \forall y \ P(x,y) \Leftrightarrow \forall x \forall y \ P(y,x)$

$\exists x \exists y \ P(x,y) \Leftrightarrow \exists x \exists y \ P(y,x)$

Y estos podemos derivarlos de los principios anteriores, por ejemplo:

$\forall x \forall y \ P(x,y) \Leftrightarrow \text{ (Swapping Quantifiers)}$

$\forall y \forall x \ P(x,y) \Leftrightarrow \text{ (Swapping Bound Variables)}$

$\forall x \forall y \ P(y,x)$

1. Desafortunadamente, no hay convenciones universalmente observadas. Diferentes tradiciones que dan diferentes respuestas. Si tiene dudas sobre qué convención emplearán sus lectores, explique su convención por adelantado o elimine la ambigüedad usando paréntesis.

2. Esto también difiere de una tradición a otra.

3. Sí, siempre son ciertas. Puede pasar del antecedente al sucedente intercambiando el orden de dos cuantificadores del mismo tipo (lo cual está permitido, según 4) y luego cambiando el nombre de las variables vinculadas.

4. No entiendo la pregunta: ¿qué tipo de respuesta a "cómo" algo es cierto esperas? ¿Es "muy" cierto o "ciertamente" cierto o simplemente cierto cierto?