Confusión de factor de escala y métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW)

Estoy confundido acerca de las diferentes formas de escribir la métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) utilizando el factor de escala normalizado y no normalizado. Peacock, por ejemplo, (ver ecuación 3.13) da

C 2 d τ 2 = C 2 d t 2 − R 2 ( t ) ( d r 2 1 − k r 2 + r 2 d ψ 2 ) ,
dónde R ( t ) es el factor de escala no normalizado y k = 0 , ± 1 .

Luego da una forma alternativa usando a , el factor de escala normalizado adimensional, donde a ( t ) ≡ R ( t ) / R 0 entonces

C 2 d τ 2 = C 2 d t 2 − a 2 ( t ) ( d r 2 1 − k ( A r ) 2 + r 2 d ψ 2 ) ,
dónde A = 1 / R 0 . Esto seguramente significa que el k A 2 término ya no es igual a 0, +1 o -1. Sin embargo, y esto es lo que me pierde, también he visto (ecuación 1, aquí: https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Sept02/Reid/Reid2.html ) la métrica como
C 2 d τ 2 = C 2 d t 2 − a 2 ( t ) ( d r 2 1 − k r 2 + r 2 d ψ 2 ) ,
dónde a ( t ) es adimensional y k de nuevo es igual a 0, +1 o -1. ¿Qué estoy malinterpretando? Gracias.

EDICIÓN ADICIONAL

Puedo pasar de la primera a la segunda métrica haciendo las sustituciones R → R / R 0 , r → r R 0 , k → k / R 0 2 . Pero no puedo ver cómo puedo llegar a la tercera métrica, donde no solo (presumiblemente, se describe como "sin dimensiones") a ( t ) ≡ R ( t ) / R 0 pero también k sigue siendo igual a 0, +1 o -1.

El a en la segunda forma es lo mismo que el R antes. No prestes demasiada atención a los nombres de las cosas.
@Javier: ¿cómo pueden ser iguales si son ecuaciones diferentes y, si son iguales, cómo puede ser cierta la tercera ecuación?
Puede que te interese esta respuesta mía: physics.stackexchange.com/questions/397279/… . Lo que importa es la forma de las ecuaciones, no los nombres de las variables.
@Javier - OK, gracias por eso. Entonces, ¿está diciendo que para que la tercera métrica que doy sea correcta, debemos reescalar la coordenada radial? r ?
Realmente depende. No se puede saber solo por la forma de la métrica, porque todavía hay cierta libertad de coordenadas. Si quieres k ∈ { − 1 , 0 , 1 } , entonces r debe ser adimensional y por lo tanto reescalado, y a será un largo. pero puedes tener k ser cualquier número real, y r será un largo.

Respuestas (1)

En la primera expresión:

  • R tiene dimensiones de longitud
  • r y k no tienen dimensiones
  • k está escalado por lo que es − 1 , 0 , o 1

Para pasar de la primera expresión a la segunda expresión, definimos

r ′ = r R 0 , k ′ = k / R 0 2 , a ( t ) = R ( t ) / R 0
donde estoy denotando las nuevas variables con un número primo solo para ser más claro. Entonces

  • r ′ tiene dimensiones de longitud y k ′ tiene dimensiones de longitud inversa al cuadrado
  • a no tiene dimensiones

Estas son las dos convenciones principales para la métrica FRW. Su tercer ejemplo es un poco inusual, porque trata de establecer k ′ a − 1 , 0 , o 1 , lo cual no tiene ningún sentido porque k ′ tiene dimensiones.

Sin embargo, k ′ es una constante, por lo que podemos usarla para definir nuestra unidad de longitud. Tomando la curvatura positiva para la concreción, esto significa que en lugar de medir longitudes en metros, medimos en un sistema de unidades donde el valor numérico de k ′ es 1 ( unidad de longitud ) − 2 . Otra forma de decir esto es que este ejemplo establece k ′ = 1 en el mismo sentido que usted puede establecer C = 1 en relatividad especial. Siempre puede hacer esto definiendo su sistema de unidades apropiadamente, pero luego el análisis dimensional ingenuo dejará de funcionar y tendrá que poner el k ′ 'arena C 's vuelve al final para obtener números válidos.

Definición k ′ = 1 - ¡furtivo! Esa es la cosa más solapada y engañosa que he escuchado desde que la campaña del Brexit prometió que la UE nos necesita más que nosotros a ellos. Pero tiene sentido (definiendo k ′ = 1 , eso es). Gracias.
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